Cos'è lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2?

Risposta:

#lim_ (x-> oo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = oo #

Spiegazione:

Permettere # y = (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 #

# LNY = ln ((e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2) #

# LNY = lne ^ (2x) + ln (sin (1 / x)) - lnx ^ 2 #

# LNY = 2xlne + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

# LNY = 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = lim_ (x-> oo) 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) LNY = oo #

# E ^ LNY = e ^ oo #

# Y = oo #

Risposta:

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = oo #. Si prega di consultare la sezione spiegazione di seguito.

Spiegazione:

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 #

Nota che: # (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * sin (1 / x) / (1 / x) #

Ora, come # # Xrarroo, il primo rapporto aumenta senza limite, mentre il secondo va a #1#.

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = lim_ (xrarroo) e ^ (2x) / x ^ 3 * lim_ (xrarroo) sin (1 / x) / (1 /X)#

# = oo #

Ulteriori spiegazioni

Ecco il ragionamento che ha portato alla soluzione sopra.

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 # ha la forma iniziale # (Oo * 0) / oo #.

Questa è una forma indeterminata, ma non possiamo applicare la Regola dell'Ospedale a questa forma.

Potremmo riscriverlo come # (E ^ (2x)) / (x ^ 2 / sin (1 / x)) # per ottenere il modulo # Oo / oo # a cui potremmo applicare l'ospedale. Tuttavia, non voglio particolarmente prendere il derivato di quel denominatore.

Richiama questo #lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1 #.

Così che #lim_ (xrarroo) sin (1 / x) / (1 / x) = 1 #.

Questo è ciò che motiva la riscrittura usata sopra.

# (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * sin (1 / x) / (1 / x) #.

Come #X# aumenta senza vincoli, # E ^ x # va all'infinito molto più velocemente # X ^ 3 # (più veloce di qualsiasi potenza di #X#).

Così, # e ^ (2x) = (e ^ x) ^ 2 # esplode ancora più velocemente.

Se non si dispone di questo fatto, utilizzare la regola dell'ospedale per ottenere

#lim_ (xrarroo) e ^ (2x) / x ^ 3 = lim_ (xrarroo) (2e ^ (2x)) / (3x ^ 2) #

# = lim_ (xrarroo) (8e ^ (2x)) / (6) = oo #

Mostra che cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Sono un po 'confuso se creo Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) e cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), diventerà negativo come cos (180 ° -theta) = - costheta in il secondo quadrante. Come faccio a dimostrare la domanda?

Vedi sotto. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Cosa è uguale? lim_ (x-> pi / 2) sin (cosx) / (cos ^ 2 (x / 2) -sin ^ 2 (x / 2)) =?

1 "Nota che:" colore (rosso) (cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = cos (2x)) "Quindi qui abbiamo" lim_ {x-> pi / 2} sin (cos (x )) / cos (x) "Ora applica la regola de l'Hôptial:" = lim_ {x-> pi / 2} cos (cos (x)) * (- sin (x)) / (- sin (x)) = lim_ {x-> pi / 2} cos (cos (x)) = cos (cos (pi / 2)) = cos (0) = 1

Come si verifica [sin ^ 3 (B) + cos ^ 3 (B)] / [sin (B) + cos (B)] = 1-sin (B) cos (B)?

Prova sotto Espansione di a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2), e possiamo usare questo: (sin ^ 3B + cos ^ 3B) / (sinB + cosB) = ((sinB + cosB) (sin ^ 2B-sinBcosB + cos ^ 2B)) / (sinB + cosB) = sin ^ 2B-sinBcosB + cos ^ 2B = sin ^ 2B + cos ^ 2B-sinBcosB (identità: sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1) = 1-sinBcosB