Qual è l'intervallo di y = [(1-x) ^ (1/2)] / (2x ^ 2 + 3x + 1)?

Per prima cosa consideriamo il dominio:

Per quali valori di #X# è definita la funzione?

Il numeratore # (1-x) ^ (1/2) # è definito solo quando # (1-x)> = 0 #. Aggiunta #X# a entrambi i lati di questo si trova #x <= 1 #.

Richiediamo inoltre che il denominatore sia diverso da zero.

# 2x ^ 2 + 3x + 1 = (2x + 1) (x + 1) # è zero quando #x = -1 / 2 # e quando # x = -1 #.

Quindi il dominio della funzione è

# {x in RR: x <= 1 e x! = -1 e x! = -1/2} #

Definire #f (x) = (1-x) ^ (1/2) / (2x ^ 2 + 3x + 1) # su questo dominio.

Consideriamo separatamente ogni intervallo continuo nel dominio:

In ogni caso, lascia #epsilon> 0 # essere un piccolo numero positivo

Caso (a): #x <-1 #

Per grandi valori negativi di #X#, #f (x) # è piccolo e positivo

All'altra estremità di questo intervallo, se # x = -1 - epsilon # poi

#f (x) = f (-1-epsilon) ~ = sqrt (2) / (((2 xx -1) +1) (- 1 - epsilon + 1)) #

# = sqrt (2) / epsilon -> + oo # come #epsilon -> 0 #

Quindi per #x <-1 # la gamma di #f (x) # è # (0, + oo) #

Caso (b): # -1 / 2 <x <= 1 #

#f (-1 / 2 + epsilon) ~ = sqrt (3/2) // ((2 (-1 / 2 + epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = sqrt (3/2) / epsilon -> + oo # come #epsilon -> 0 #

#f (1) = 0/1 = 0 #

Quindi per # -1 / 2 <x <= 1 # la gamma di #f (x) # è # 0, + oo) #

Caso (c): # -1 <x <-1 / 2 #

#f (-1 + epsilon) ~ = sqrt (2) / (((2xx-1) + 1) (- 1 + epsilon + 1)) #

# = -sqrt (2) / epsilon -> -oo # come #epsilon -> 0 #

#f (-1 / 2-epsilon) ~ = sqrt (3/2) / ((2 (-1 / 2-epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = -sqrt (3/2) / epsilon -> -oo # come #epsilon -> 0 #

Quindi la domanda interessante è qual è il valore massimo di #f (x) # in questo intervallo. Per trovare il valore di #X# per cui ciò accade, cerca che la derivata sia zero.

# D / (dx) f (x) #

# = (1/2 (1-x) ^ (- 1/2) xx-1) / (2x ^ 2 + 3x + 1) + ((1-x) ^ (1/2) xx-1xx (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ (- 2) xx (4x + 3)) #

# = (-1/2 (1-x) ^ (- 1/2)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

# = ((-1/2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1)) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3))) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

Questo sarà zero quando il numeratore è zero, quindi vorremmo risolvere:

# -1 / 2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) = 0 #

Moltiplicare attraverso # 2 (1-x) ^ (1/2) # ottenere:

# - (2x ^ 2 + 3x + 1) -2 (1-x) (4x + 3) = 0 #

Questo è:

# 6x ^ 2-5x-7 = 0 #

che ha radici # (5 + -sqrt (25 + 4xx6xx7)) / 12 = (5 + -sqrt (194)) / 12 #

Di queste radici, #x = (5-sqrt (194)) / 12 # cade nell'intervallo in questione.

Sostituiscilo in #f (x) # per trovare il massimo di #f (x) in questo intervallo (circa -10).

Questo mi sembra troppo complesso. Ho fatto degli errori?

Risposta: L'intervallo della funzione è # (- oo, -10.58 uu 0, oo) #

Per #x in (-oo, -1) # #-># #y in (0, oo) #

Per #x in (-1, -0.5) # #-># #y in (-oo, -10.58 #

Per #x in (-0.5, 1 # #-># #y in 0, oo) #