Qual è il dominio e l'intervallo di f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36)?

Risposta:

Il dominio è # RR # (tutti i numeri reali) e l'intervallo è # 5-sqrt (61)) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72 #

(tutti i numeri reali tra e compresi # (5-sqrt (61)) / 72 # e # (5 + sqrt (61)) / 72 #).

Spiegazione:

Nel dominio, iniziamo con tutti i numeri reali, quindi rimuoviamo quelli che ci obbligherebbero ad avere la radice quadrata di un numero negativo o #0# al denominatore di una frazione.

A colpo d'occhio, sappiamo che come # x ^ 2> = 0 # per tutti i numeri reali, # x ^ 2 + 36> = 36> 0 #. Quindi il denominatore non lo sarà #0# per qualsiasi numero reale #X#, il che significa che il dominio include ogni numero reale.

Per la gamma, il modo più semplice per trovare i valori sopra comporta un calcolo di base. Sebbene sia più lungo, è anche possibile trovarli utilizzando solo l'algebra, tuttavia, con il metodo descritto di seguito.

A partire dalla funzione #f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # vogliamo trovare tutti i valori possibili di #f (x) #. Questo equivale a trovare il dominio della funzione inversa # F ^ -1 (x) # (una funzione con la proprietà # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = 1 #)

Sfortunatamente, l'inverso di #f (x) # in questo caso non è una funzione, in quanto restituisce 2 valori, tuttavia, l'idea è sempre la stessa. Inizieremo con l'equazione #y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # e risolvere per #X# per trovare l'inverso. Successivamente, esamineremo i possibili valori di # Y # per trovare il dominio dell'inverso e quindi l'intervallo della funzione originale.

Risolvere per #X#:

#y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) #

# => y (x ^ 2 + 36) = x + 5 #

# => yx ^ 2 + 36y = x + 5 #

# => yx ^ 2 - x + (36y - 5) = 0 #

Trattamento # Y # come costante, applichiamo la formula quadratica

# ax ^ 2 + bx + c = 0 => x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) #

ottenere

#x = (1 + - sqrt (1 - 4y (36y-5))) / (2y) #

Ora dobbiamo trovare il dominio dell'espressione di cui sopra (si noti che non è una funzione a causa del #+-#). Si noti che dividendo per # Y # nella formula quadratica, abbiamo perso la possibilità di # Y = 0 #, che è chiaramente possibile nell'equazione originale (per #x = -5 #). Quindi ignoreremo il # Y # nel denominatore dell'inverso, e focalizzarsi solo sulla radice quadrata.

Come accennato in precedenza, non stiamo permettendo la radice quadrata di un valore inferiore a 0, e quindi abbiamo la restrizione

# 1 - 4y (36y-5)> = 0 #

# => -144y ^ 2 + 20y + 1> = 0 #

Usando la formula quadratica su # -144y ^ 2 + 20y + 1 = 0 # troviamo, dopo una certa semplificazione, #y = (5 + -sqrt (61)) / 72 #

Infine, possiamo dire che come # | Y | # cresce grande, # -144y ^ 2 + 20y + 1 # sarà inferiore a #0#. Quindi consideriamo solo l'intervallo tra

#y = (5-sqrt (61)) / 72 # e #y = (5 + sqrt (61)) / 72 #

Quindi i valori consentiti per # Y #, e quindi la gamma per #f (x) #, è

# 5-sqrt (61)) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72 #