La funzione f (x) = sin (3x) + cos (3x) è il risultato di una serie di trasformazioni con la prima una traduzione orizzontale della funzione sin (x). Quale di questo descrive la prima trasformazione?

Risposta:

Possiamo ottenere il grafico di # Y = f (x) # a partire dal # # Ysinx applicando le seguenti trasformazioni:

• una traduzione orizzontale di # Pi / 12 # radianti a sinistra

• un tratto lungo #Bue# con un fattore di scala di #1/3# unità

• un tratto lungo # # Oy con un fattore di scala di #sqrt (2) # unità

Spiegazione:

Considera la funzione:

# f (x) = sin (3x) + cos (3x) #

Supponiamo di poter scrivere questa combinazione lineare di seno e coseno come una funzione sinusoidale a singola fase spostata, supponiamo di avere:

# f (x) - = Asin (3x + alpha) #

# = A {sin3xcosalpha + cos3xsinalpha} #

# = Acosalpha sin3x + Asinalphacos3x #

In tal caso confrontando i coefficienti di # # Sin3x e # # Cos3x noi abbiamo:

# Acos alpha = 1 # e # Asinalpha = 1 #

Squadrando e aggiungendo abbiamo:

# A ^ 2cos ^ 2alpha + A ^ 2sin ^ 2alpha = 2 => A ^ 2 = 2 => A = sqrt (2) #

Dividendo abbiamo:

# tan alpha => alpha = pi / 4 #

Quindi possiamo scrivere, #f (x) # Nella forma:

# f (x) - = sin (3x) + cos (3x) #

# = sqrt (2) sin (3x + pi / 4) #

# = sqrt (2) sin (3 (x + pi / 12)) #

Quindi possiamo ottenere il grafico di # Y = f (x) # a partire dal # # Ysinx applicando le seguenti trasformazioni:

• una traduzione orizzontale di # Pi / 12 # radianti a sinistra
• un tratto lungo #Bue# con un fattore di scala di #1/3# unità
• un tratto lungo # # Oy con un fattore di scala di #sqrt (2) # unità

Che possiamo vedere graficamente:

Il grafico di # Y = sinx #:

graph {sinx -10, 10, -2, 2}

Il grafico di # Y = sin (x + pi / 12) #:

graph {sin (x + pi / 12) -10, 10, -2, 2}

Il grafico di # y = sin (3 (x + pi / 12)) = sin (3x + pi / 4) #:

graph {sin (3x + pi / 4) -10, 10, -2, 2}

Il grafico di # y = sqrt (2) sin (3 (x + pi / 12)) = sqrt (2) sin (3x + pi / 4) #:

graph {sqrt (2) sin (3x + pi / 4) -10, 10, -2, 2}

E infine, il grafico della funzione originale per il confronto:

graph {sin (3x) + cos (3x) -10, 10, -2, 2}