Qual è il dominio e l'intervallo di f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4)?

Risposta:

Dominio: tutta la linea reale

Gamma: #-0.0757,0.826#

Spiegazione:

Questa domanda può essere interpretata in due modi. O ci aspettiamo di affrontare solo la linea reale # RR #, oppure anche con il resto del piano complesso # CC #. L'uso di #X# come variabile implica che abbiamo a che fare solo con la linea reale, ma c'è una differenza interessante tra i due casi che noterò.

Il dominio di # F # è l'insieme dell'insieme numerico considerato meno i punti che fanno esplodere la funzione all'infinito. Questo succede quando il denominatore # X ^ 2 + 4 = 0 #, cioè quando # X ^ 2 = -4 #. Questa equazione non ha soluzioni reali, quindi se stiamo lavorando sulla linea reale, il dominio è l'intero intervallo # (- oo, + oo) #. Se consideriamo i limiti infiniti della funzione confrontando i termini principali in numeratore e denominatore, vediamo che a entrambi gli infiniti tende a zero, e quindi possiamo, se vogliamo, aggiungere questi a quell'intervallo per chiuderlo: # - oo, + oo #.

L'equazione # X ^ 2 = -4 # ha tuttavia due soluzioni complesse, #x = + - 2i #. Se consideriamo l'intero piano complesso, il dominio è l'intero piano meno questi due punti: # CC # # {+ - 2i} #. Come con i reali, possiamo aggiungere all'infinito allo stesso modo se lo desideriamo.

Per determinare l'intervallo di # F # dobbiamo scoprire i suoi valori massimi e minimi sul suo dominio. Parleremo solo in termini reali, poiché determinare un analogo a questi sopra il piano complesso è in generale un diverso tipo di problema che richiede strumenti matematici diversi.

Prendi la prima derivata tramite la regola del quoziente:

#f '(x) = ((x ^ 2 + 4) -2x (x + 3)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 = (- x ^ 2-6x + 4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

La funzione # F # raggiunge o un estremo o un punto di inflessione quando #f '(x) = 0 #, cioè quando # -X ^ 2-6x + 4 = 0 #.

Risolviamo questo con la formula quadratica:

# X = -1 / 2 (6 + -sqrt (52)) = - 3 + -sqrt (13) #. Quindi la funzione ha due punti di questo tipo.

Noi caratterizziamo questi punti esaminando i loro valori alla seconda derivata di # F #, che prendiamo, sempre tramite la regola del quoziente:

#f '' (x) = ((- 2x-6) (x ^ 2 + 4) ^ 2 - (- x ^ 2-6x + 4) * 4x (x ^ 2 + 4)) / (x ^ 2 4) ^ 4 #

# = (- 2 (x + 3) (x ^ 2 + 4) + 4x (x ^ 2 + 6x-4)) / (x ^ 2 + 4) ^ 3 #

Sappiamo dal nostro primo calcolo della radice derivata che il secondo termine nel numeratore è zero per questi due punti, poiché l'impostazione a zero è l'equazione che abbiamo appena risolto per trovare i numeri di input.

Quindi, notando questo # (- 3 + -sqrt (13)) ^ 2 = 22bar (+) 6sqrt (13) #:

#f '' (- 3 + -sqrt (13)) = (- 2 (-3 + -sqrt (13) 3) (22bar (+) 6sqrt (13) 4)) / (22bar (+) 6sqrt (13) 4) 3 ^ #

# = (Bar (+) 2sqrt (13) (26bar (+) 6sqrt (13))) / (26bar (+) 6sqrt (13)) ^ 3 #

Nel determinare il segno di questa espressione, chiediamo se # 26> 6sqrt (13) #. Piazza entrambi i lati per confrontare: #26^2=676#, # (6sqrt (13)) ^ 2 = 36 * 13 = 468 #. Così # 26-6sqrt (13) # è positivo (e # 26 + 6sqrt (13) # ancora di più).

Quindi il segno dell'intera espressione scende al #bar (+) # di fronte ad esso, il che significa che # X = -3-sqrt (13) # ha #f '' (x)> 0 # (ed è quindi una funzione minima) e # X = -3 + sqrt (13) # ha #f '' (x) <0 # (ed è quindi una funzione massima). Avendo notato che la funzione tende a zero agli infiniti, ora comprendiamo pienamente la forma della funzione.

Quindi ora per ottenere l'intervallo, dobbiamo calcolare i valori della funzione ai punti minimo e massimo # X = -3 + -sqrt (13) #

Richiama questo #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #, e così

#f (-3 + -sqrt (13)) = (- 3 + -sqrt (13) 3) / (22bar (+) 6sqrt (13) 4) = (+ - sqrt (13)) / (26bar (+) 6sqrt (13)) #.

Quindi, oltre la linea reale # RR # la funzione #f (x) # assume valori nell'intervallo # - sqrt (13) / (26 + 6sqrt (13)), sqrt (13) / (26-6sqrt (13)) #, che se valutiamo numericamente, viene a #-0.0757,0.826#, a tre cifre significative, ottenute a #X# valori #-6.61# e #0.606# (3 s.f.)

Tracciare il grafico della funzione come controllo di integrità:

graph {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -15, 4.816, -0.2, 1}

Risposta:

Dominio: #x in RR #

Gamma: #f (x) in -0.075693909, + 0.825693909 colore (bianco) ("xxx") # (circa)

Spiegazione:

Dato

#color (bianco) ("XXX") f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Dominio

Il dominio sono tutti valori di #X# per cui #f (x) # è definito.

Per qualsiasi funzione espressa come polinomiale divisa per un polinomio, la funzione è definita per tutti i valori di #X# dove il polinomio del divisore non è uguale a zero. Da # X ^ 2> = 0 # per tutti i valori di #X#, # X ^ 2 + 4> 0 # per tutti i valori di #X#; questo è # X! = 0 # per tutti i valori di #X#; la funzione è definita per tutto il reale (# RR #) valori di #X#.

Gamma

Il gamma è un po 'più interessante da sviluppare.

Notiamo che se una funzione continua ha dei limiti, la derivata della funzione nei punti che risultano in quei limiti è uguale a zero.

Sebbene alcuni di questi passaggi possano essere banali, lavoreremo attraverso questo processo partendo da principi abbastanza basilari per i derivati.

1 Regola esponenziale per derivati

Se #f (x) = x ^ n # poi # (d f (x)) / (dx) = nx ^ (n-1) #

2 Regola di somma per derivati

Se #f (x) = r (x) + s (x) # poi # (d f (x)) / (dx) = (d r (x)) / (dx) + (d s (x)) / (dx) #

3 Regola del prodotto per derivati

Se #f (x) = g (x) * h (x) # poi # (d f (x)) / (dx) = (d g (x)) / (dx) * h (x) + g (x) * (d h (x)) / (dx) #

4 Regola a catena per derivati

Se #f (x) = P (q (x)) # poi # (d f (x)) / (dx) = (d p (q (x))) / (d q (x)) * (d q (x)) / (dx) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Per la funzione data #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

notiamo che questo può essere scritto come #f (x) = (x + 3) * (x ^ 2 + 4) ^ (- 1) #

Da 3 lo sappiamo

#colore (bianco) ("XXX") colore (rosso) ((df (x)) / (dx)) = colore (calce) ((d (x + 3)) / (dx)) * colore (blu) ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1)) + colore (blu) ((x + 3)) * colore (magenta) ((d ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1))) / (dx)) #

Per 1 abbiamo

#color (bianco) ("XXX") (d (x + 3)) / (dx) = (dx) / (dx) + (d (3 * x ^ 0)) / (dx) #

e da 2

#color (bianco) ("XXX") a colori (calce) ((d (x + 3)) / (dx)) = 1 + 0 = colore (calce) (1) #

Di 4 abbiamo

#colore (bianco) ("XXX") colore (magenta) ((d (x + 4) ^ (- 1)) / (dx)) = (d (x + 4) ^ (- 1)) / (d (x + 4)) * (d (x + 4)) / (dx) #

e da 1 e 2

#color (bianco) ("XXXXXXXX") = - 1 (x ^ 2 + 4) ^ (- 2) * 2x #

o, semplificato:

#color (bianco) ("XXXXXXXX") = colore (magenta) (- (2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

dandoci

#colore (bianco) ("XXX") colore (rosso) ((df (x)) / (dx)) = colore (verde) 1 * colore (blu) ((x + 4) ^ (- 1)) + colore (blu) ((x + 3)) * colore (magenta) ((- 2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) #

che può essere semplificato come

#colore (bianco) ("XXX") colore (rosso) ((d f (x)) / (dx) = (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

Come notato (via di ritorno) questo significa che i valori limite si verificano quando

#color (bianco) ("XXX") (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) = 0 #

#color (bianco) ("XXX") rArr -x ^ 2-6x + 4 = 0 #

quindi usando la formula quadratica (guarda qui, Socratic si sta già lamentando della lunghezza di questa risposta)

quando

#color (bianco) ("XXX") x = -3 + -sqrt (13) #

Piuttosto che prolungare l'agonia, semplicemente inseriremo questi valori nella nostra calcolatrice (o foglio di calcolo, che è il modo in cui lo faccio) per ottenere i limiti:

#color (bianco) ("XXX") f (-3-sqrt (13)) ~~ -,075693909 #

e

#color (bianco) ("XXX") f (-3 + sqrt (13)) ~~,825,693909 millions #

Risposta:

Un modo più semplice per trovare la gamma. Il dominio è #x in RR #. La gamma è #y in -0.076, 0.826 #

Spiegazione:

Il dominio è #x in RR # come

#AA x in RR #, il denominatore # X ^ 2 + 4> 0 #

Permettere # Y = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Croce moltiplicare

#=>#, #y (x ^ 2 + 4) = x + 3 #

# YX ^ 2-x + 4y-3 = 0 #

Questa è un'equazione quadratica in #X#

Ci sono soluzioni se il discriminante #Delta> = 0 #

#Delta = (- 1) ^ 2-4 * (y) (4Y-3) = 1-16y ^ 2 + 12Y #

Perciò, # 1-16y ^ 2 + 12y> = 0 #

#=>#, # 16Y ^ 2-12y-1 <= 0 #

Le soluzioni di questa disuguaglianza sono

# y in (12-sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32), ((-12) + sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32) #

#y in (12-sqrt (208)) / 32, (12 + sqrt (208)) / 32 #

#y in -0.076, 0.826 #

grafico {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -6.774, 3.09, -1.912, 3.016}