Qual è l'equazione della parabola con un focus su (5,3) e una direttrice di y = -12?

Risposta:

# Y = x ^ 2/30 x / 3-11 / 3 #

Spiegazione:

La definizione di una parabola afferma che tutti i punti della parabola hanno sempre la stessa distanza dal fuoco e dalla direttrice.

Possiamo lasciare # P = (x, y) #, che rappresenterà un punto generale sulla parabola, possiamo lasciarlo # F = (5,3) # rappresentare l'attenzione e # D = (x, -12) # rappresenta il punto più vicino sulla direttrice, il #X# è perché il punto più vicino sulla direttrice è sempre dritto verso il basso.

Ora possiamo impostare un'equazione con questi punti. Useremo la formula della distanza per calcolare le distanze:

# D = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Possiamo applicare questo ai nostri punti per ottenere prima la distanza tra # P # e # F #:

#d_ (PF) = sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) #

Quindi elaboreremo la distanza tra # P # e # D #:

#d_ (PD) = sqrt ((x-x) ^ 2 + (y - (- 12)) ^ 2) #

Poiché queste distanze devono essere uguali tra loro, possiamo metterle in una equazione:

#sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) = sqrt ((y + 12) ^ 2) #

Dal momento che il punto # P # è in forma generale e può rappresentare qualsiasi punto della parabola, se solo possiamo risolverlo # Y # nell'equazione, rimarremo con un'equazione che ci darà tutti i punti sulla parabola, o in altre parole, sarà l'equazione della parabola.

Per prima cosa, radicheremo entrambi i lati:

# (Sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2)) ^ 2 = (sqrt ((y + 12) ^ 2)) ^ 2 #

# (X-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = (y + 12) ^ 2 #

Possiamo quindi espandere:

# X ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-6y + 9 = y ^ 2 + 24y + 144 #

Se mettiamo tutto a sinistra e raccogliamo termini simili, otteniamo:

# X ^ 2-10x-110-30y = 0 #

# 30Y = x ^ 2-10x-110 #

# Y = x ^ 2 / 30- (10x) / 30-110 / 30 #

# Y = x ^ 2/30 x / 3-11 / 3 #

che è l'equazione della nostra parabola.