Come trovi l'antiderivata di dx / (cos (x) - 1)?

Risposta:

Fai qualche moltiplicazione coniugata, applica alcuni trigsi e finisci per ottenere un risultato # Int1 / (cosx-1) dx = CSCX + cotx + C #

Spiegazione:

Come con la maggior parte dei problemi di questo tipo, lo risolviamo usando un trucco di moltiplicazione del coniugato. Ogni volta che hai qualcosa diviso per qualcosa più / meno qualcosa (come in # 1 / (cosx-1) #), è sempre utile provare la moltiplicazione dei coniugati, specialmente con le funzioni trigonometriche.

Inizieremo moltiplicando # 1 / (cosx-1) # dal coniugato di # Cosx-1 #, che è # Cosx + 1 #:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) #

Potresti chiederti perché lo facciamo. È così che possiamo applicare la differenza di proprietà dei quadrati, # (A-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #, al denominatore, per semplificarlo un po '. Torna al problema:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) = (cosx + 1) / ((cosx-1) (cosx + 1)) #

# (Underbrace (cosx) -underbrace (1)) (underbrace (cosx) + underbrace1)) #

#color (bianco) (III) acolor (bianco) (XXX) bcolor acolor (bianco) (XXX) (bianca) (XXX) b #

Si noti come questo sia essenzialmente # (A-b) (a + b) #.

# = (Cosx + 1) / (cos ^ 2x-1) #

Ora, che dire # cos ^ 2x-1 #? Bene, lo sappiamo # Sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Facciamolo moltiplicare per #-1# e vediamo cosa otteniamo:

# -1 (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) -> - sin ^ 2x = -1 + cos ^ 2x #

# = Cos ^ 2-1 #

Si scopre che # -Sin ^ 2x = cos ^ 2x-1 #, quindi sostituiamo # cos ^ 2x-1 #:

# (Cosx + 1) / (- sin ^ 2x #

Questo è equivalente a # Cosx / -sin ^ 2x + 1 / -sin ^ 2x #, che, usando alcuni trig, si riduce a # -Cotxcscx-CSC ^ 2x #.

A questo punto, abbiamo semplificato l'integrale # Int1 / (cosx-1) dx # a # Int-cotxcscx-CSC ^ 2xdx #. Usando la regola della somma, questo diventa:

# Int-cotxcscxdx + int-CSC ^ 2xdx #

Il primo di questi è # # CSCX (perché la derivata di # # CSCX è # # -Cotxcscx) e il secondo è # # Cotx (perché la derivata di # # Cotx è # -Csc ^ 2x #). Aggiungi sulla costante di integrazione # C # e tu hai la tua soluzione:

# Int1 / (cosx-1) dx = CSCX + cotx + C #