Come trovi l'antiderivata di (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))?

Risposta:

#arctan (e ^ x) + C #

Spiegazione:

# "scrivi" e ^ x "dx come" d (e ^ x) ", quindi otteniamo" #

#int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2) #

# "con la sostituzione y =" e ^ x ", otteniamo" #

#int (d (y)) / (1 + y ^ 2) #

# "che è uguale a" #

#arctan (y) + C #

# "Ora sostituisci" y = e ^ x: #

#arctan (e ^ x) + C #

Risposta:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = arctane ^ x + "c" #

Spiegazione:

Vogliamo trovare # Inte ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = int1 / (1+ (e ^ x) ^ 2) e ^ x "d" x #

Adesso molla # U = e ^ x # e così prendendo il differenziale su entrambi i lati dà # Du = e ^ xdx #. Ora sostituiamo entrambe queste equazioni nell'integrale per ottenere

# Int1 / (1 + u ^ 2) "d" u #

Questo è un integrale standard che valuta # # Arctanu. Sostituire per #X# otteniamo una risposta finale:

#arctan e ^ x + "c" #

Risposta:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = tan ^ -1 (e ^ x) + C #

Spiegazione:

Per prima cosa, lasciamo # U = 1 + e ^ (2x) #. Integrare rispetto a # U #, dividiamo per la derivata di # U #, che è # 2e ^ (2x) #:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = 1 / 2int e ^ x / (e ^ (2x) * u) du = 1 / 2int e ^ x / (e ^ x * e ^ x * u) du = #

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du #

Integrare rispetto a # U #, abbiamo bisogno di tutto espresso in termini di # U #, quindi dobbiamo risolvere per cosa # E ^ x # è in termini di # U #:

# U = 1 + e ^ (2x) #

# E ^ (2x) = u-1 #

# 2x = ln (u-1) #

# X = 1 / 2ln (u-1) #

# X = ln ((u-1) ^ (1/2)) = ln (sqrt (u-1)) #

# E ^ x = e ^ (ln (sqrt (u-1))) = sqrt (u-1) #

Ora possiamo ricollegarlo all'integrale:

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du #

Quindi introdurremo una sostituzione con # Z = sqrt (u-1) #. Il derivato è:

# (Dz) / (du) = 1 / (2sqrt (u-1) #

quindi lo dividiamo per integrarlo rispetto a # Z # (ricorda che la divisione equivale a moltiplicare per il reciproco):

# 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) * 2sqrt (u-1) dz = #

# = 2 / 2int 1 / u dz #

Ora, abbiamo ancora una volta la variabile sbagliata, quindi dobbiamo risolvere per cosa # U # è uguale a in termini di # Z #:

# Z = sqrt (u-1) #

# U-1 = z ^ 2 #

# U = z ^ 2 + 1 #

Questo da:

#int 1 / u dz = int 1 / (1 + z ^ 2) dz #

Questa è la derivata comune di # Tan ^ -1 (z) #, quindi otteniamo:

#int 1 / (1 + z ^ 2) dz = tan ^ -1 (z) + C #

Annullando tutte le sostituzioni, otteniamo:

# Tan ^ -1 (z) + C = tan ^ -1 (sqrt (u-1)) + C = #

# = Tan ^ -1 (sqrt (1 + e ^ (2x) -1)) + C = tan ^ -1 ((e ^ (2x)) ^ (1/2)) + C = #

# = Tan ^ -1 (e ^ x) + C #