Qual è la formula generale per il discriminante di un polinomio di grado n?

Risposta:

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Spiegazione:

Il discriminante di un polinomio #f (x) # di laurea # N # può essere descritto in termini di determinante della matrice di Sylvester di #f (x) # e #f '(x) # come segue:

Dato:

#f (x) = a_nx ^ n + a_ (n-1) x ^ (n-1) + … + a_1x + a_0 #

Abbiamo:

#f '(x) = na_ (n-1) x ^ (n-1) + (n-1) a_ (n-1) x ^ (n-2) + … + a_1 #

La matrice di Sylvester di #f (x) # e #f '(x) # è un # (2n-1) xx (2n-1) # matrice formata utilizzando i loro coefficienti, simile al seguente esempio per # N = 4 # …

# ((a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0, 0), (0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, 0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0), (4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0, 0), (0,4a_4,3a_3,2a_2, a_1,0,0), (0, 0, 4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 0, 4a_4,3a_3,2a_2, a_1)) #

Quindi il discriminante #Delta# è dato in termini di determinante della matrice di Sylvester dalla formula:

#Delta = (-1) ^ (1 / 2n (n-1)) / a_nabs (S_n) #

Per # N = 2 # noi abbiamo:

#Delta = (-1) / a_2abs ((a_2, a_1, a_0), (2a_2, a_1,0), (0,2a_2, a_1)) = a_1 ^ 2-4a_2a_0 #

(che potresti trovare più riconoscibile nel modulo #Delta = b ^ 2-4ac #)

Per # N = 3 # noi abbiamo:

#Delta = (-1) / a_3abs ((a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, a_3, a_2, a_1, a_0), (3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0), (0, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 3a_3, 2a_2, a_1)) #

#color (bianco) (Delta) = a_2 ^ 2a_1 ^ 2-4a_3a_1 ^ 3-4a_2 ^ 3a_0-27a_3 ^ 2a_0 ^ 2 + 18a_3a_2a_1a_0 #

I discriminanti per quadratica (# N = 2 #) e cubics (# N = 3 #) sono i più utili in quanto ti dicono esattamente quanti zeri complessi reali, ripetuti o non reali hanno un polinomio.

L'interpretazione del discriminante per i polinomi di ordine superiore è più limitata, ma ha sempre la proprietà che il polinomio ha ripetuto zeri se e solo se il discriminante è zero.

#colore bianco)()#

Ulteriori letture

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