Qual è l'equazione della linea che è normale alla curva polare f (theta) = - 5theta- sin ((3theta) / 2-pi / 3) + tan ((theta) / 2-pi / 3) a theta = pi?

Risposta:

La linea è #y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #

Spiegazione:

Questo colosso di un'equazione è derivato da un processo un po 'lungo. Illustrerò in primo luogo i passaggi attraverso i quali la derivazione procederà e quindi eseguirò questi passaggi.

Ci viene assegnata una funzione in coordinate polari, #f (theta) #. Possiamo prendere la derivata, #f '(theta) #ma per trovare effettivamente una linea in coordinate cartesiane, avremo bisogno # Dy / dx #.

Possiamo trovare # Dy / dx # utilizzando la seguente equazione:

# dy / dx = (f '(theta) sin (theta) + f (theta) cos (theta)) / (f' (theta) cos (theta) - f (theta) sin (theta)) #

Quindi inseriremo quella pendenza nel modulo di linea cartesiana standard:

#y = mx + b #

E inserisci le coordinate polari convertite cartesiane del nostro punto di interesse:

#x = f (theta) cos (theta) #

#y = f (theta) sin (theta) #

Alcune cose che dovrebbero essere immediatamente ovvie e ci faranno risparmiare tempo. Stiamo prendendo una linea tangente al punto #theta = pi #. Ciò significa che #sin (theta) = 0 # così…

1) La nostra equazione per # Dy / dx # sarà in realtà:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

2) Le nostre equazioni per le coordinate cartesiane del nostro punto diventeranno:

#x = -f (theta) #

#y = 0 #

Iniziando a risolvere il problema, il nostro primo ordine di lavoro è trovare #f '(theta) #. Non è difficile, solo tre facili derivati con la regola della catena applicata a due:

#f '(theta) = -5 - 3/2 cos ((3pi) / 2 - pi / 3) + 1/2 sec ^ 2 (theta / 2 - pi / 3) #

Ora vogliamo sapere #f (pi) #:

#f (pi) = -5pi - sin ((7pi) / 6) + tan (pi / 6) #

# = -5pi - 1/2 + 1 / sqrt3 #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) #

E #f '(pi) #…

#f '(pi) = -5 - 3/2 cos ((7pi) / 6) + 1/2 sec ^ 2 (pi / 6) #

# = -5 + (3sqrt3) / 4 + 2/3 #

# = (9sqrt3 - 52) / 12 #

Con questi in mano, siamo pronti a determinare la nostra inclinazione:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) * 12 / (9sqrt3 - 52) #

# = (6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52) #

Possiamo inserire questo come # M # nel #y = mx + b #. Ricordiamo che in precedenza lo abbiamo determinato # Y = 0 # e #x = -f (theta) #:

# 0 = - ((6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3)) + b #

# 0 = - ((3 (1-10pi) + 2sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (sqrt3)) + b #

# 0 = - ((sqrt3 (1-10pi) + 2) / (9sqrt3 - 52)) (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) + b #

#b = ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) ^ 2) / (9sqrt3 - 52) #

Possiamo combinare il nostro precedentemente determinato # M # con il nostro nuovo determinato # B # per dare l'equazione per la linea:

#y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #