Una particella viene lanciata su un triangolo da un'estremità di una base orizzontale e sfiorando le vertici cade all'altra estremità della base. Se alfa e beta sono gli angoli di base e theta è l'angolo di proiezione, Dimostra che tan theta = tan alfa + tan beta?

Dato che una particella viene lanciata con angolo di proiezione # # Theta sopra un triangolo # # DeltaACB da una delle sue estremità #UN# della base orizzontale # # AB allineato lungo l'asse X e alla fine cade all'altra estremità # B #della base, sfiorando il vertice #C (x, y) #

Permettere # U # essere la velocità della proiezione, # T # essere il tempo del volo, # R = AB # essere la gamma orizzontale e # T # essere il tempo impiegato dalla particella per raggiungere in C # (X, y) #

La componente orizzontale della velocità di proiezione # -> ucostheta #

La componente verticale della velocità di proiezione # -> usintheta #

Considerando il movimento in gravità senza alcuna resistenza aerea, possiamo scrivere

# y = usinthetat-1/2 g t ^ 2 ….. 1 #

# X = ucosthetat ………………. 2 #

combinando 1 e 2 otteniamo

# y = usinthetaxxx / (ucostheta) -1/2 xxgxxx ^ 2 / (u ^ 2cos ^ 2theta) #

# => y = usinthetaxxx / (ucostheta) -1/2 xxgxxx ^ 2 / u ^ 2xxsec ^ 2theta #

# => Colore (blu) (y / x = tantheta - ((gsec ^ 2theta) / (2U ^ 2)) x …….. 3) #

Ora durante il tempo di volo # T # lo spostamento verticale è zero

Così

# 0 = usinthetaT-1/2 g T ^ 2 #

# => T = (2usintheta) / g #

Quindi spostamento orizzontale durante il tempo di volo, cioè la portata è data da

# R = ucosthetaxxT = ucosthetaxx (2usintheta) / g = (u ^ 2sin2theta) / g #

# => R = (2U ^ 2tantheta) / (g (1 + tan ^ 2theta)) #

# => R = (2U ^ 2tantheta) / (gsec ^ 2theta) #

# => Colore (blu) ((gsec ^ 2theta) / (2U ^ 2) = tantheta / R …… 4) #

Combinando 3 e 4 otteniamo

# y / x = tantheta-1/2 xx (gx) / u ^ 2xxsec ^ 2theta #

# => Y / x = tantheta- (xtantheta) / R #

# => = Tanalpha tantheta- (xtantheta) / R # da #color (rosso) (y / x = tanalpha) # dalla figura

Così # Tantheta = tanalphaxx (R / (R-x)) #

# => = Tantheta tanalphaxx ((-x R + x) / (R-x)) #

# => = Tantheta tanalphaxx (1 + x / (R-x)) #

# => = Tantheta tanalpha + (xtanalpha) / (R-x) #

# => = Tantheta tanalpha + y / (R-x) # mettendo #color (rosso) (xtanalpha = y) #

Finalmente abbiamo dalla figura #color (magenta) (y / (R-x) = tanbeta) #

Quindi otteniamo la nostra relazione richiesta

#color (verde) (tantheta = tanalpha + tanbeta) #