Come risolvere 3sin2x + 2cos2x = 3? È possibile convertirlo in sinx = k?

Risposta:

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # o #x = arctan (3/2) - 45 ^ circ + 180 ^ circ k #

o se preferisci un'approssimazione, # x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # o #x circa 11,31 ^ circ + 180 ^ circ k #

ovviamente per intero #K#.

Spiegazione:

Suggerimento per professionisti: è meglio trasformarli in un modulo #cos x = cos a # che ha soluzioni #x = pm a + 360 ^ circ k quad # per intero #K#.

Questo è già circa # # 2x quindi è più facile lasciarlo così.

Le combinazioni lineari di seno e coseno dello stesso angolo sono cosine sfasate.

# 3 sin (2x) + 2 cos (2x) = 3 #

# sqrt {13} (2 / sqrt {13} cos (2x) + 3 / sqrt {13) sin (2x)) = 3 #

# 2 / sqrt {13} cos (2x) + 3 / sqrt {13) sin (2x) = 3 / sqrt {13} #

Let's Let # theta = arctan (3/2) circa 56,31 ^ circ #

Intendiamo davvero quello nel primo quadrante.

(Se volessimo fare il seno anziché il coseno come faremmo, useremmo #arctan (2/3) #.)

abbiamo #cos theta = 2 / sqrt {13} # e #sin theta = 3 / sqrt {13}. #

# cos theta cos (2x) + sin theta sin (2x) = sin theta #

# cos (2x - theta) = cos (90 ^ circ - theta) #

# 2x - theta = pm (90 ^ circ-theta) + 360 ^ circ k #

# 2x = theta pm (90 ^ circ-theta) + 360 ^ circ k #

# x = theta / 2 pm (45 ^ circ-theta / 2) + 180 ^ circ k #

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # o #x = theta - 45 ^ circ + 180 ^ circ k #

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # o #x = arctan (3/2) - 45 ^ circ + 180 ^ circ k #

Da #56.31-45 = 11.31#

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # o #x circa 11,31 ^ circ + 180 ^ circ k #