Come si integra questo? dx (x²-x + 1) Sono bloccato su questa parte (immagine caricata)

Risposta:

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Spiegazione:

Proseguendo…

Permettere # 3/4 u ^ 2 = (x-1/2) ^ 2 #

# => sqrt (3) / 2 u = x-1/2 #

# => sqrt (3) / 2 du = dx #

# => int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du #

# => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du #

# => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du #

Usando una tecnica antideriva che dovrebbe essere impegnata nella memoria …

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) u + c #

# => u = (2x-1) / sqrt3 #

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Questo è un piccolo e complicato integrale, e all'inizio la soluzione non apparirà ovvia. Poiché questa è una frazione, potremmo provare a considerare l'utilizzo della tecnica delle frazioni parziali, ma un'analisi rapida rivela che ciò non è possibile poiché # X ^ 2-x + 1 # non è un fattore

Cercheremo di ottenere questo integrale in una forma che possiamo effettivamente integrare. Si noti la somiglianza tra # Int1 / (x ^ 2-x + 1) dx # e # Int1 / (x ^ 2 + 1) dx #; sappiamo che l'ultimo integrale valuta # Arctanx + C #. Cercheremo quindi di ottenere # X ^ 2-x + 1 # Nella forma #k (x-a) ^ 2 + 1 #e quindi applicare il # # Arctanx regola.

Avremo bisogno di completare il quadrato # X ^ 2-x + 1 #:

# X ^ 2-x + 1 #

# = X ^ 2-x + 1/4 + 1-1 / 4 #

# = (X-1/2) ^ 2 + 3/4 #

# = (X-1/2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2 #

# = (Sqrt (3) / 2) ^ 2 ((x-1/2) ^ 2 / (sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1) #

# = (Sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) #

(molto disordinato, lo so)

Ora che lo abbiamo nella nostra forma desiderata, possiamo procedere come segue:

# Int1 / (x ^ 2-x + 1) dx = int1 / ((sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1)) dx #

# = 4 / 3int1 / (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) dx #

# = 4 / 3int1 / (((2x-1) / (sqrt (3))) ^ 2 + 1) dx #

# = 4/3 * (sqrt (3) / 2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) + C #

# = (2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) / sqrt (3) + C #