Trova i valori di x per i quali le seguenti serie sono convergenti?

Risposta:

#1<>

Spiegazione:

Quando si cerca di determinare il raggio e / o l'intervallo di convergenza delle serie di potenza come queste, è meglio usare il Ratio Test, che ci dice per una serie # # Suma_n, lasciamo

# L = lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | #.

Se #L <1 # la serie è assolutamente convergente (e quindi convergente)

Se #L> 1 #, la serie diverge.

Se # L = 1, # il test di valutazione è inconcludente.

Per la serie Power, tuttavia, sono possibili tre casi

un. La serie di potenze converge per tutti i numeri reali; il suo intervallo di convergenza è # (- oo, oo) #

b. La serie di potenze converge per un certo numero # x = a; # il suo raggio di convergenza è zero.

c. Il caso più frequente, la serie di potenze converge per # | X-a |<> con un intervallo di convergenza di # A-R

# | 2x-3 | lim_ (n-> oo) = 1 | 2x-3 | #

Quindi se # | 2x-3 | <1 #, la serie converge. Ma abbiamo bisogno di questo nella forma # | X-a |<>

# | 2 (x-3/2) | <1 #

# 2 | x-3/2 | <1 #

# | X-3/2 | <1/2 # risultati in convergenza. Il raggio di convergenza è # R = 1 / 2. #

Ora, determiniamo l'intervallo:

#-1/2

#-1/2+3/2

#1<>

Abbiamo bisogno di collegare # x = 1, x = 2 # nella serie originale per vedere se abbiamo convergenza o divergenza a questi endpoint.

# x = 1: sum_ (n = 0) ^ oo (2 (1) -3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n # diverge, il summit non ha limiti e certamente non va a zero, alterna solo i segni.

# x = 2: sum_ (n = 0) ^ oo (4-3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo1 # diverge anche dal Test di divergenza, #lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) 1 = 1 ne 0 #

Pertanto, la serie converge per #1<>

Possiamo usare il test del rapporto che dice che se abbiamo una serie

#sum_ (n = 0) ^ ooa_n #

è sicuramente convergente se:

#lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | <1 #

Nel nostro caso, # A_n = (2x-3) ^ n #, quindi controlliamo il limite:

#lim_ (n-> oo) | (2x-3) ^ (n + 1) / (2x-3) ^ n | = lim_ (n-> oo) | ((2x-3) annullare ((2x-3) ^ n)) / annullare ((2x-3) ^ n) | = #

# = Lim_ (n-> oo) | 2x-3 | = 2x-3 #

Quindi, dobbiamo controllare quando # | 2x-3 | # è meno di #1#:

Ho fatto un errore qui, ma la risposta di cui sopra ha lo stesso metodo e una risposta corretta, quindi basta dare un'occhiata a quello invece.