Quali sono alcuni esempi di serie convergenti?

Risposta:

Ecco tre esempi significativi …

Spiegazione:

Serie geometriche

Se #abs (r) <1 # quindi la somma delle serie geometriche #a_n = r ^ n a_0 # è convergente:

#sum_ (n = 0) ^ oo (r ^ n a_0) = a_0 / (1-r) #

Funzione esponenziale

La serie che definisce # E ^ x # è convergente per qualsiasi valore di #X#:

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ n / (n!) #

Per dimostrarlo, per qualsiasi dato #X#, permettere # N # essere un numero più grande di #abs (x) #. Poi #sum_ (n = 0) ^ N x ^ n / (n!) # converge poiché è una somma finita e #sum_ (n = N + 1) ^ oo x ^ n / (n!) # converge poiché il valore assoluto del rapporto tra termini successivi è inferiore a #abs (x) / (N + 1) <1 #.

Problema di Basilea

Il problema di Basilea, posto nel 1644 e risolto da Eulero nel 1734, richiedeva il valore della somma dei reciproci dei quadrati degli interi positivi:

#sum_ (n = 1) ^ oo 1 / (n ^ 2) = pi ^ 2/6 #