Sin ^ 4x -cos ^ 4x = cos3x Potresti risolvere questo?

Risposta:

# x = pi / 5 #

#x = (3pi) / 5 #

# x = pi #

Spiegazione:

Abbiamo:

# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x- cos ^ 2x) = cos (3x) #

# 1 (sin ^ 2x - cos ^ 2x) = cos (3x) #

# -cos (2x) = cos (3x) #

# 0 = cos (3x) + cos (2x) #

# 0 = cos (2x) cos (x) - sin (2x) sinx + cos (2x) #

# 0 = (2cos ^ 2x -1) cosx- 2sinxcosxsinx + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x - cosx - 2sin ^ 2xcosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx - 2 (1- cos ^ 2x) cosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx - 2 (cosx - cos ^ 3x) + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx- 2cosx + 2cos ^ 3x + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 4cos ^ 3x + 2cos ^ 2x - 3cosx -1 #

Permettere #u = cosx #.

# 0 = 4u ^ 3 + 2u ^ 2 - 3u - 1 #

Lo vediamo #u = -1 # è un fattore Usando la divisione sintetica otteniamo

# 0 = (x + 1) (4x ^ 2 - 2x - 1) #

L'equazione # 4x ^ 2 - 2x - 1 = 0 # può essere risolto usando la formula quadratica.

#x = (2 + - sqrt (2 ^ 2 - 4 * 4 * -1)) / (2 * 4) #

#x = (2 + - sqrt (20)) / 8 #

#x = (1 + - sqrt (5)) / 4 #

#x ~~ 0.809 o -0.309 #

Da #cosx = u #, noi abbiamo #x = pi / 5, (3pi) / 5 # e #pi#.

Dove # N # è un numero intero

Il grafico di # y_1 = sin ^ 4x- cos ^ 4x # e # y_2 = cos (3x) # conferma che le soluzioni sono i punti di intersezione.

Speriamo che questo aiuti!

Risposta:

#x = (2k + 1) pi #

#x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Spiegazione:

# sin ^ 4x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# 1 (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #, o

#cos 3x = - cos 2x = cos (2x + pi) #

Cerchio unitario e proprietà di cos, dare ->

# 3x = + - (2x + pi) + 2kpi #

un. # 3x = 2x + pi + 2kpi #

#x = (2k + 1) pi #

Se k = 0 -> #x = pi #

b. # 3x = - 2x - pi + 2kpi #

# 5x = (2k - 1) pi #, #x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Se k = 1 -> #x = pi / 5 #.

Se k = 0 -> #x = - pi / 5 #, o #x = (9pi) / 5 # (Co-terminale)

Se k = 2 -> #x = (3pi) / 5 #

Nell'intervallo chiuso 0, 2pi, le risposte sono:

# 0, (pi) / 5, (3pi) / 5, pi, (9pi) / 5 #

Controlla tramite calcolatore.

#x = pi / 5 = 36 ^ @ # --> # sin ^ 4 x = 0.119 # --> # cos ^ 4 x = - 0,428 # -> cos 3x = - 309.

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = 0,119 - 0,428 = - 309 #. dimostrato

#x = (9pi) / 5 # --># sin ^ 4 x = 0.119 # --> # cos ^ 4 x = 0,428 # -->

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = - 0.309 #

#cos 3x = cos 972 = - 0.309 #. dimostrato

Risposta:

# rarrx = (2n + 1) pi / 5, (2n + 1) pi # # # NrarrZ

Spiegazione:

# Rarrsin ^ 4x-cos ^ 4x = cos3x #

#rarr (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x-cos ^ 2x) = cos3x #

# Rarr-cos2x = cos3x #

# Rarrcos3x + cos2x = 0 #

# rarr2cos ((3x + 2x) / 2)) * cos ((3x-2x) / 2)) = 0 #

#rarrcos ((5x) / 2) * cos (x / 2) = 0 #

O #cos ((5x) / 2) = 0 #

#rarr (5x) / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# Rarrx = (2n + 1) pi / 5 # # # NrarrZ

#rarrcos (x / 2) = 0 #

# Rarrx / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# Rarrx = (2n + 1) pi # # # Nrarr

Risposta:

La soluzione generale non richiede la formula dell'angolo triplo, ed è

# x = 180 ^ circ + 360 ^ circ k # o # x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k #

per intero #K#.

Spiegazione:

Non mi piace leggere le risposte di altre persone prima di risolvere io stesso una domanda. Ma una risposta in evidenza per questo è spuntata. Durante la mia rapida occhiata non ho potuto notare che sembrava piuttosto complicato per quello che a me sembra una domanda relativamente facile. Darò un colpo.

#sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #

#cos (180 ^ circ - 2x) = cos 3x #

Sono stato a Socratic per un paio di settimane, e questo sta emergendo come il mio tema: la soluzione generale a #cos x = cos a # è #x = pm a + 360 ^ circ k quad # per intero #K.#

# 180 ^ circ - 2x = pm 3x + 360 ^ circ k #

# -2x pm 3x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

Prendiamo i segni separatamente. Inoltre prima:

# x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #

Meno dopo.

# -5x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k #

Se leggi da vicino, potresti pensare che sto sbagliando nel modo in cui io manipolo #K#. Ma da allora #K# spazia su tutti gli interi, sostituzioni come #k a -k # e #k a k + 1 # sono permessi e li infilo per mantenere i segni #+# quando possono essere

Dai un'occhiata:

Prendiamo un paio per controllare. Sono abbastanza geek da sapere #cos 36 ^ circ # è la metà del Golden Ratio, ma non ho intenzione di lavorarci esattamente, basta inserirli in Wolfram Alpha per essere sicuri.

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ = 108 ^ circ #

# sin ^ 4 108 - cos ^ 4 108 - cos (3 * 108) = 0 quad sqrt #

# x = 180 - 2 (360) = -540 #

#sin ^ 4 (-540) - cos ^ 4 (-540) - cos (3 * -540) = 0 quad sqrt #