Sia x, y, z sono tre numeri reali e distinti che soddisfano l'equazione 8 (4x ^ 2 + y ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4xy + yz + 2xz) = 0, quindi quale delle seguenti opzioni sono corrette ? (a) x / y = 1/2 (b) y / z = 1/4 (c) x / y = 1/3 (d) x, y, z sono in A.P

Risposta:

La risposta è (a).

Spiegazione:

# 8 (4x ^ 2 + y ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4xy + yz + 2XZ) = 0 # può essere scritto come

# 32x ^ 2 + 8A ^ 2 + 2z ^ 2-16xy-4yz-8xz = 0 #

o # 16x ^ 2 + 4y ^ 2 + z ^ 2-8xy-2yz-4xz = 0 #

cioè # (4x) ^ 2 + (2y) ^ 2 + z ^ 2-4x * 2A-2y * z-4x * z = 0 #

Se # A = 4x #, # B = 2y # e # C = z #allora questo è

# A ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2-ab-bc-ca = 0 #

o # 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2-2ab-2BC-2CA = 0 #

o # (A ^ 2 + b ^ 2-2ab) + (b ^ 2 + c ^ 2-2bc) + (c ^ 2 + a ^ 2-2AC) = 0 #

o # (A-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 = 0 #

Ora se la somma di tre quadrati è #0#, devono essere ciascuno zero.

Quindi # A-b = 0 #, # B-c = 0 # e # C-a = 0 #

cioè # A = b = c # e nel nostro caso # 4x = 2y = z = k # dire

poi # X = k / 4 #, # Y = k / 2 # e # Z = k #

cioè # x, y # e # Z # sono in G.P, e # X / y = 2/4 = 1/2 °

# Y / z = 1/2 ° e quindi la risposta è (a).

# x, y, z # sono tre numeri reali e distinti che soddisfano l'equazione

Dato

# 8 (4x ^ 2 + y ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4xy + yz + 2XZ) = 0 #

# => 32x ^ 2 + 8A ^ 2 + 2z ^ 2-16xy-4yz-8xz = 0 #

# => 16x ^ 2 + 4y ^ 2-16xy + 16x ^ 2 + z ^ 2-8xz + 4y ^ 2 + z ^ 2-4yz = 0 #

# => (4x) ^ 2 + (2y) ^ 2-2 * 4x * 2y + (4x) ^ 2 + z ^ 2-2 * 4x * z + (2y) ^ 2 + z ^ 2-2 * 2y * z = 0 #

# => (4x-2y) ^ 2 + (4x-z) ^ 2 + (2y-z) ^ 2 = 0 #

Somma tre quantità reali quadrate pari a zero ciascuna di esse deve essere zero.

Quindi # 4x-2y = 0-> x / y = 2/4 = 1 / 2a #Opzione (a)

# 4x-z = 0 => 4x = z #

e

# 2y-z = 0 => 2y = z #