Quali sono i massimi e minimi locali di f (x) = (x ^ 2) / (x-2) ^ 2?

Risposta:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Questa funzione ha un asintoto verticale a # X = 2 #, approcci #1# dall'alto come x va a # + oo # (asintoto orizzontale) e approcci #1# dal basso come x va a # -oo #. Tutti i derivati sono indefiniti a # X = 2 # anche. C'è un minimo locale a # X = 0 #, # Y = 0 # (Tutto quel guaio per l'origine!)

Nota che potresti voler controllare i miei calcoli, anche se il migliore di noi lascia cadere il segno negativo dispari e questa è una lunga domanda.

Spiegazione:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Questa funzione ha un asintoto verticale a # X = 2 #, perché il denominatore è zero quando # X = 2 #.

Si avvicina #1# dall'alto come x va a # + oo # (asintoto orizzontale) e approcci #1# dal basso come x va a # -oo #, perché per grandi valori # X ^ 2 ~ = (x-2) ^ 2 # con # X ^ 2> (x-2) ^ 2 # per #x> 0 # e # X ^ 2 <(x-2) ^ 2 # per #x <0 #.

Per trovare max / min abbiamo bisogno della prima e della seconda derivata.

# {d f (x)} / dx = d / dx (x ^ 2 / {(x-2) ^ 2}) # Usa la regola del quoziente!

# {df (x)} / dx = ({(d / dx x ^ 2) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (d / dx (x-2) ^ 2)} / {(x-2) ^ 4}) #.

Usando la regola per i poteri e la regola della catena otteniamo:

# {d f (x)} / dx = {(2x) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (2 * (x-2) * 1)} / (x-2) ^ 4 #.

Ora ci uniamo un po '…

# {d f (x)} / dx = {2x (x ^ 2-4x + 4) - x ^ 2 (2x-4)} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {2x ^ 3-8x ^ 2 + 8x - 2x ^ 3 + 4x ^ 2} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 #

Ora la seconda derivata, fatta come la prima.

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {d / dx (-4x ^ 2 + 8x) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (d / dx ((x -2) ^ 4))} / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

È brutto, ma abbiamo solo bisogno di collegare e notare dove si comporta male.

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 # Questa funzione non è definita a # X = 2 #, che asintoto, ma sembra bene ovunque.

Vogliamo sapere se il massimo / minimo sono …

prepariamo # {d f (x)} / dx = 0 #

# {- 4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 = 0 # questo è zero quando il numeratore è zero e se il denominatore non lo è.

# -4x ^ 2 + 8x = 0 #

# 4x (-x + 2) = 0 # o # 4x (2-x) = 0 # Questo è zero a # X = 0 # e # X = 2 #, ma non possiamo avere un massimo / min se la funzione derivata / non è definita, quindi l'unica possibilità è # X = 0 #.

"il secondo test derivato"

Ora guardiamo il secondo derivato, brutto com'è …

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3)} / (x-2) ^ 8 #

Come la funzione e la prima derivata non è definita a # X = 2 #, ma sembra buono ovunque.

Noi colleghiamo # X = 0 # in # {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 #

# {d ^ 2 f (0)} / dx ^ 2 = #

# {(-8*0 + 8)(0-2)^4 - (-4*0^2 + 8*0)(4*0-2)^3}/(0-2)^8 #

#= {(8)(-2)^4}/(2)^8 #, non è zero un numero così bello da collegarlo?

#=128/256# tutto questo per #1/2#

#1/2 >0# così # X = 0 # è un minimo locale.

Per trovare il valore y è necessario inserirlo nella funzione.

#f (x) = 0 ^ 2 / {(0-2) ^ 2} = 0 # L'origine!