Qual è la derivata di (x ^ 2 + x) ^ 2?

Risposta:

# y ^ '= 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x #

Spiegazione:

È possibile differenziare questa funzione usando il somma e regole di potere. Si noti che è possibile riscrivere questa funzione come

#y = (x ^ 2 + x) ^ 2 = x (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 * (x + 1) ^ 2 #

#y = x ^ 2 * (x ^ 2 + 2x + 1) = x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2 #

Ora, la regola della somma ti dice che per le funzioni che prendono il modulo

#y = sum_ (i = 1) ^ (oo) f_i (x) #

puoi trovare la derivata di # Y # aggiungendo i derivati di quelle singole funzioni.

#color (blu) (d / dx (y) = f_1 ^ '(x) + f_2 ^' (x) + … #

Nel tuo caso, hai

# y ^ '= d / dx (x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2) #

# y ^ '= d / dx (x ^ 4) + d / dx (2x ^ 2) + d / dx (x ^ 2) #

# y ^ '= d / dx (x ^ 4) * 2d / dx (x ^ 3) * d / dx (x ^ 2) #

Per differenziare queste frazioni, usa la regola del potere

#color (blu) (d / dx (x ^ a) = ax ^ (a-1)) #

Quindi, il tuo derivato verrà fuori per essere

# y ^ '= 4x ^ (4-1) + 2 * 3x ^ (3-1) + 2x ^ (2-1) #

# y ^ '= colore (verde) (4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x) #

In alternativa, puoi usare la regola della catena per differenziare # Y #.

#color (blu) (d / dx (y) = d / (du) (y) * d / dx (u)) #

Nel tuo caso, hai #y = u ^ 2 # e # u = x ^ 2 + x #, così ottieni

# dy / (dx) = d / (du) u ^ 2 * d / dx (x ^ 2 + x) #

# dy / dx = 2u * (2x + 1) #

# dy / dx = 2 (x ^ 2 + x) * (2x + 1) #

# dy / dx = (2x ^ 2 + 2x) * (2x + 1) #

# dy / dx = 4x ^ 3 + 2x ^ 2 + 4x ^ 2 + 2x = colore (verde) (4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x) #