Qual è la varianza di X se ha la seguente funzione di densità di probabilità ?: f (x) = {3x2 se -1 <x <1; 0 altrimenti}

Risposta:

#Var = sigma ^ 2 = int (x-mu) ^ 2f (x) dx # quale cann può essere scritto come:

# sigma ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx-2mu ^ 2 + mu ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx - mu ^ 2 #

# sigma_0 ^ 2 = 3int_-1 ^ 1 x ^ 4dx = 3/5 x ^ 5 _- 1 ^ 1 = 6/5 #

Spiegazione:

Presumo che la domanda volesse dire

#f (x) = 3x ^ 2 "per" -1 <x <1; 0 "altrimenti" #

Trova la varianza?

#Var = sigma ^ 2 = int (x-mu) ^ 2f (x) dx #

Espandere:

# sigma ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx-2mucancel (intxf (x) dx) ^ mu + mu ^ 2cancel (intf (x) dx) ^ 1 #

# sigma ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx-2mu ^ 2 + mu ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx - mu ^ 2 #

sostituto

# sigma ^ 2 = 3int_-1 ^ 1 x ^ 2 * x ^ 2dx -mu ^ 2 = sigma_0 ^ 2 + mu ^ 2 #

Dove, # sigma_0 ^ 2 = 3int_-1 ^ 1 x ^ 4dx # e # mu = 3int_-1 ^ 1 x ^ 3dx #

Quindi calcoliamo # sigma_0 ^ 2 "e" mu #

per simmetria # Mu = 0 # vediamo:

# mu = 3int_-1 ^ 1 x ^ 3dx = 3 / 4x ^ 4 _- 1 ^ 1 = 3/4 1-1 #

# sigma_0 ^ 2 = 3int_-1 ^ 1 x ^ 4dx = 3/5 x ^ 5 _- 1 ^ 1 = 6/5 #

Supponiamo che X sia una variabile casuale continua la cui funzione di densità di probabilità è data da: f (x) = k (2x - x ^ 2) per 0 <x <2; 0 per tutti gli altri x. Qual è il valore di k, P (X> 1), E (X) e Var (X)?

K = 3/4 P (x> 1) = 1/2 E (X) = 1 V (X) = 1/5 Per trovare k, usiamo int_0 ^ 2f (x) dx = int_0 ^ 2k (2x-x ^ 2) dx = 1:. k [2x ^ 2/2-x ^ 3/3] _0 ^ 2 = 1 k (4-8 / 3) = 1 => 4 / 3k = 1 => k = 3/4 Per calcolare P (x> 1 ), usiamo P (X> 1) = 1-P (0 <x <1) = 1-int_0 ^ 1 (3/4) (2x-x ^ 2) = 1-3 / 4 [2x ^ 2 / 2-x ^ 3/3] _0 ^ 1 = 1-3 / 4 (1-1 / 3) = 1-1 / 2 = 1/2 Per calcolare E (X) E (X) = int_0 ^ 2xf (x ) dx = int_0 ^ 2 (3/4) (2x ^ 2-x ^ 3) dx = 3/4 [2x ^ 3/3-x ^ 4/4] _0 ^ 2 = 3/4 (16 / 3- 16/4) = 3/4 * 16/12 = 1 Per calcolare V (X) V (X) = E (X ^ 2) - (E (X)) ^ 2 = E (X ^ 2) -1 E (X ^ 2) = int_0 ^ 2x ^ 2f (x) dx

Il grafico della funzione f (x) = (x + 2) (x + 6) è mostrato sotto. Quale affermazione sulla funzione è vera? La funzione è positiva per tutti i valori reali di x, dove x> -4. La funzione è negativa per tutti i valori reali di x dove -6 <x <-2.

La funzione è negativa per tutti i valori reali di x dove -6 <x <-2.

Qual è la media e la varianza di una variabile casuale con la seguente funzione di densità di probabilità ?: f (x) = 3x ^ 2 se -1 <x <1; 0 altrimenti

Media E (X) = 0 e varianza "Var" (X) = 6/5. Nota che E (X) = int_-1 ^ 1 x * (3x ^ 2) "" dx = int_-1 ^ 1 3x ^ 3 "" dx = 3 * [x ^ 4/4] _ ("(" - 1, 1 ")") = 0 Nota anche che "Var" (x) = E (X ^ 2) - (E (X)) ^ 2 = 3 * [x ^ 5/5] _ ("(" - 1, 1 ")") - 0 ^ 2 = 3/5 * (1 + 1) = 6/5