Qual è la velocità di una particella per t = 0 a t = 10 la cui accelerazione è veca = 3t ^ 2 hati + 5t hatj- (8t ^ 3 + 400) hatk?

Risposta:

Velocità media: # 6.01 xx 10 ^ 3 # #"Signorina"#

Velocità alla volta #t = 0 # #"S"#: #0# #"Signorina"#

Velocità a #t = 10 # #"S"#: # 2.40 xx 10 ^ 4 # #"Signorina"#

Spiegazione:

Immagino che tu intenda il velocità media a partire dal #t = 0 # a #t = 10 # #"S"#.

Ci vengono dati i componenti dell'accelerazione della particella e viene chiesto di trovare la velocità media rispetto alla prima #10# secondi del suo movimento:

#vecv_ "av" = (Deltavecr) / (10 "s") #

dove

• #v_ "av" # è la grandezza della velocità media, e

• # # Deltar è il cambiamento di posizione dell'oggetto (da #0# #"S"# a #10# #"S"#).

Dobbiamo quindi trovare la posizione dell'oggetto in queste due volte.

Dobbiamo ricavare un'equazione di posizione da questa equazione di accelerazione, integrandola due volte:

Prima integrazione:

#vecv = (t ^ 3) hati + (5 / 2t ^ 2) hatj - (2t ^ 4 + 400t) hatk # (velocità)

Seconda integrazione:

#vecr = (1 / 4t ^ 4) hati + (5 / 6t ^ 3) hatj - (2 / 5t ^ 5 + 200t ^ 2) hatk # (posizione)

Si presuppone che la posizione iniziale sia all'origine, quindi colleghiamo #10# per # T # nell'equazione di posizione:

#vecr = (2500) hati + (2500/3) hatk - (60000) hatk #

Possiamo quindi suddividere l'equazione di velocità media in componenti:

#v_ "av-x" = (Deltax) / (10 "s") = (2500 "m") / (10 "s") = colore (rosso) (250 # #color (rosso) ("m / s" #

#v_ "av-y" = (Deltay) / (10 "s") = (2500/3 "m") / (10 "s") = colore (blu) (250/3 # #color (blu) ("m / s" #

#v_ "av-z" = (Deltaz) / (10 "s") = (-60000 "m") / (10 "s") = colore (verde) (- 6000 # #color (verde) ("m / s" #

Usando questi componenti, possiamo trovare l'ampiezza del vettore di velocità medio:

#v_ "av" = sqrt ((v_ "av-x") ^ 2 + (v_ "av-y") ^ 2 + (v_ "av-z") ^ 2) #

# = sqrt ((250 "m / s") ^ 2 + (250/3 "m / s") ^ 2 + (-6000 "m / s") ^ 2) #

# = colore (viola) (6.01 xx 10 ^ 3 # #color (viola) ("m / s" #

(Ecco il istantaneo sezione di velocità).

Per trovare le velocità istantanee a #t = 0 # e #t = 10 # #"S"#, per prima cosa inseriamo questi dati nell'equazione della velocità precedentemente integrata:

• #t = 0 # #"S"#

#vecv = ((0 "s") ^ 3) hati + (5/2 (0 "s") ^ 2) hatj - (2 (0 "s") ^ 4 + 400 (0 "s")) hatk #

# = colore (rosso) (0 # #color (rosso) ("m / s" #

• #t = 10 # #"S"#

#vecv = ((10 "s") ^ 3) hati + (5/2 (10 "s") ^ 2) hatj - (2 (10 "s") ^ 4 + 400 (10 "s")) hatk #

# = (1000 "m / s") hati + (250 "m / s") hatj - (24000 "m / s") hatk #

La grandezza di questa velocità è quindi

#v (10 "s") = sqrt ((1000 "m / s") ^ 2 + (250 "m / s") ^ 2 + (-24000 "m / s") ^ 2) #

# = colore (blu) (2,40 xx 10 ^ 4 # #color (blu) ("m / s" #