![Come valuti [(1 + 3x) ^ (1 / x)] mentre x si avvicina all'infinito?](https://img.go-homework.com/img/algebra/how-do-you-evaluate-the-expression-2x-y-for-x1-and-y-2.jpg "Come valuti [(1 + 3x) ^ (1 / x)] mentre x si avvicina all'infinito?")
Risposta:
Spiegazione:
Andare a usare un trucco wif nifty che fa uso del fatto che le funzioni di registro esponenziale e naturale sono operazioni inverse. Ciò significa che possiamo applicarli entrambi senza modificare la funzione.
Usando la regola esponenziale dei log possiamo portare il potere in primo piano dando:
La funzione esponenziale è continua, quindi puoi scrivere questo come
e ora si limita a gestire il limite e ricorda di ricondurlo nell'esponenziale.
Questo limite è della forma indeterminata
Quindi il limite dell'esponente è 0 quindi il limite complessivo è
Qual è il limite di (1+ (4 / x)) ^ x come x si avvicina all'infinito?
E ^ 4 Notare la definizione binomiale per il numero di Eulero: e = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / x) ^ x- = lim_ (x-> 0) (1 + x) ^ (1 / x) Qui Userò la definizione x-> oo. In questa formula, sia y = nx Then 1 / x = n / y, e x = y / n il numero di Eulero viene quindi espresso in una forma più generale: e = lim_ (y-> oo) (1 + n / y) ^ (y / n) In altre parole, e ^ n = lim_ (y-> oo) (1 + n / y) ^ y Poiché y è anche una variabile, possiamo sostituire x al posto di y: e ^ n = lim_ (x-> oo) (1 + n / x) ^ x Pertanto, quando n = 4, lim_ (x-> oo) (1 + 4 / x) ^ x = e ^ 4
Come trovi il limite di xtan (1 / (x-1)) quando x si avvicina all'infinito?
Il limite è 1. Speriamo che qualcuno qui possa compilare gli spazi vuoti nella mia risposta. L'unico modo che posso vedere per risolvere questo problema è espandere la tangente usando una serie di Laurent su x = oo. Sfortunatamente non ho ancora fatto analisi molto complesse, quindi non posso spiegarti come funziona esattamente, ma usando Wolfram Alpha http://www.wolframalpha.com/input/?i=laurent+series+tan (1% 2F ( x-1)) Ho ottenuto che tan (1 / (x-1)) espanso in x = oo è uguale a: 1 / x + 1 / x ^ 2 + 4 / (3x ^ 3) + 2 / (x ^ 4) + 47 / (15x ^ 5) + O (((1) / (x)) ^ 6) Moltiplicando per x si ottiene: 1 + 1
Come trovi il limite di (ln x) ^ (1 / x) quando x si avvicina all'infinito?
Lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 Iniziamo con un trucco abbastanza comune quando si tratta di esponenti variabili. Possiamo prendere il log naturale di qualcosa e quindi innalzarlo come esponente della funzione esponenziale senza cambiarne il valore poiché si tratta di operazioni inverse, ma ci consente di utilizzare le regole dei log in modo vantaggioso. lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)) ^ (1 / x))) Utilizzo della regola esponenziale dei registri: = lim_ (xrarroo ) exp (1 / xln (ln (x))) Si noti che è l'esponente che varia come xrarroo in modo che possiamo concentrarci