Come trovi il limite di (ln x) ^ (1 / x) quando x si avvicina all'infinito?

Risposta:

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 #

Spiegazione:

Iniziamo con un trucco abbastanza comune quando ci occupiamo di esponenti variabili. Possiamo prendere il log naturale di qualcosa e quindi innalzarlo come esponente della funzione esponenziale senza cambiarne il valore poiché si tratta di operazioni inverse, ma ci consente di utilizzare le regole dei log in modo vantaggioso.

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)) ^ (1 / x))) #

Utilizzando la regola esponenziale dei log:

# = lim_ (xrarroo) exp (1 / xln (ln (x))) #

Si noti che è l'esponente che varia come # # Xrarroo in modo che possiamo concentrarci su di esso e spostare la funzione esponenziale all'esterno:

# = Exp (lim_ (xrarroo) (ln (ln (x)) / x)) #

Se si osserva il comportamento della funzione di registro naturale, si noterà che come x tende all'infinito, anche il valore della funzione tende all'infinito, anche se molto lentamente. Quando prendiamo #ln (ln (x)) # abbiamo una variabile all'interno della funzione log che tende all'infinito molto lentamente, il che significa che abbiamo una funzione generale che tende all'infinito ESTREMAMENTE lentamente. Il grafico sottostante varia fino a # X = 1000 # ma dimostra la crescita estremamente lenta di #ln (ln (x)) # anche in confronto alla crescita lenta di #ln (x) #.

Da questo comportamento, possiamo inferirlo #X# mostrerà una crescita asintotica molto più veloce e che il limite dell'esponente sarà quindi pari a zero. #color (blu) ("Ciò significa che il limite generale = 1.") #

Possiamo anche affrontare questo punto con la regola di L'hopital. Abbiamo bisogno che il limite sia in forma indeterminata, cioè # 0/0 o oo / oo # quindi controlliamo che questo sia il caso:

#lim_ (xrarroo) ln (ln (x)) = ln (ln (oo)) = ln (oo) = oo #

#lim_ (xrarroo) x = oo #

Questo è davvero il caso così il limite diventa:

# = Exp (lim_ (xrarroo) ((d / (dx) (ln (ln (x)))) / (d / (dx) x))) #

Per differenziare #y = ln (ln (x)) # riconosciamo che abbiamo #y (u (x)) # e usa la regola della catena

# (dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx) #

#u = ln (x) implica (du) / (dx) = 1 / x #

#y = ln (u) implica (dy) / (du) = 1 / u = 1 / (ln (x)) #

#therefore (dy) / (dx) = 1 / (ln (x)) * 1 / x = 1 / (xln (x)) #

Derivato di #X# è #1#. Il limite diventa:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((1 / (xln (x))) / 1)) = exp (lim_ (xrarroo) (1 / (xln (x))))) #

Abbiamo considerato che entrambe le funzioni sul denominatore tendono all'infinito, così abbiamo

#exp (1 / oo) = exp (0) = 1 #