Risposta:
Centro: #(2,-1)#
vertici: # (2, 1/2) e (2, -5 / 2) #
Co-vertici: # (1, -1) e (3, -1) #
foci: # (2, (-2 + sqrt (5)) / 2) e (2, (- 2-sqrt (5)) / 2) #
Eccentricità: #sqrt (5) / 3 #
Spiegazione:
La tecnica che vogliamo usare è chiamata completare il quadrato. Lo useremo sul #X# prima i termini e poi il # Y #.
Riorganizzare a
# 9x ^ 2 + 4y ^ 2 - 36x + 8y = -31 #
Concentrandosi su #X#, dividere per il # X ^ 2 # coefficiente e aggiungere il quadrato della metà del coefficiente del # X ^ 1 # termine per entrambe le parti:
# x ^ 2 + 4 / 9y ^ 2 - 4x + 8 / 9y + (- 2) ^ 2 = -31/9 + (-2) ^ 2 #
# (x-2) ^ 2 + 4 / 9y ^ 2 + 8 / 9y = 5/9 #
Dividere attraverso # Y ^ 2 # coefficiente e aggiungere quadrato della metà del coefficiente del # Y ^ 1 # termine per entrambe le parti:
# 9/4 (x-2) ^ 2 + y ^ 2 + 2y + (1) ^ 2 = 5/4 + (1) ^ 2 #
# 9/4 (x-2) ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = 9/4 #
Dividi per #9/4# per semplificare:
# (x-2) ^ 2 + 4/9 (y + 1) ^ 2 = 1 #
# (x-2) ^ 2/1 + ((y + 1) ^ 2) / (9/4) = 1 #
Equazione generale è
# (x-a) ^ 2 / h ^ 2 + (y-b) ^ 2 / k ^ 2 = 1 #
dove # (A, b) # è il centro e #HK# sono l'asse semi-minore / maggiore.
Leggere il centro dà #(2, -1)#.
In questo caso, il # Y # la direzione ha un valore maggiore di #X#, quindi l'ellisse verrà allungata nel # Y # direzione. # k ^ 2> h ^ 2 #
I vertici sono ottenuti spostando l'asse maggiore dal centro. ie # + - sqrt (k) # aggiunto alla coordinata y del centro.
Questo da # (2, 1/2) e (2, -5/2) #.
I co-vertici giacciono sull'asse minore. Noi aggiungiamo # + - sqrt (h) # alla coordinata x del centro per trovarli.
# (1, -1) e (3, -1) #
Ora, per trovare i fuochi:
# c ^ 2 = k ^ 2 - h ^ 2 #
# c ^ 2 = 9/4 - 1 #
# c ^ 2 = 5/4 implica c = + -sqrt (5) / 2 #
I fuochi saranno situati lungo la linea #x = 2 # a # + - sqrt (5) / 2 # a partire dal #y = -1 #.
#perciò# focolai a # (2, (-2 + sqrt (5)) / 2) e (2, (- 2-sqrt (5)) / 2) #
Finalmente l'eccentricità si trova usando
# E = sqrt (1-h ^ 2 / k ^ 2) #
# e = sqrt (1-1 / (9/4)) = sqrt (1-4 / 9) = sqrt (5) / 3 #
