Senza il grafico, come decidi se il seguente sistema di equazioni lineari ha una soluzione, infinite soluzioni o nessuna soluzione?

Risposta:

Un sistema di # N # equazioni lineari con # N # variabili sconosciute che non contengono alcuna dipendenza lineare tra equazioni (in altre parole, la sua determinante è diverso da zero) avrà una e una sola soluzione.

Spiegazione:

Consideriamo un sistema di due equazioni lineari con due variabili sconosciute:

# Ax + By = C #

# Dx + Ey = F #

Se coppia # (A, B) # non è proporzionale alla coppia # (D, E) # (cioè, non esiste un tale numero #K# quello # D = kA # e # E = kB #, che può essere controllato a condizione # A * E-B * D! = 0 #) allora c'è una sola soluzione:

# X = (C * E-B * F) / (A * E-B * D) #, # Y = (A * F-C * D) / (A * E-B * D) #

Esempio:

# X + y = 3 #

# x-2y = -3 #

Soluzione:

# X = (3 * (- 2) -1 * (- 3)) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 1 #

# Y = (1 * (- 3) -3 * 1) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 2 #

Se coppia # (A, B) # è proporzionale alla coppia # (D, E) # (il che significa che c'è un tale numero #K# quello # D = kA # e # E = kB #, che può essere controllato da una condizione # A * E-B * D = 0 #), ci sono due casi:

(a) numero infinito di soluzioni se # C # e # F # sono proporzionali con lo stesso coefficiente di #UN# e # D #, questo è # F = kC #, dove #K# è lo stesso coefficiente di proporzionalità;

Esempio:

# X + y = 3 #

# 2x + 2y = 6 #

Qui # K = 2 # per tutte le coppie: # D = 2A #, # E = 2B #, # F = 2C #.

La seconda equazione è una conseguenza banale della prima (basta moltiplicare la prima equazione per #2#) e, di conseguenza, non fornisce informazioni aggiuntive sullo sconosciuto, riducendo efficacemente il numero di equazioni a 1.

(b) nessuna soluzione, se #F! = KC #

Esempio:

# X + 4y = 3 #

# 2x + 8y = 5 #

In questo caso le equazioni si contraddicono a vicenda poiché, moltiplicando il primo per 2, deriviamo dall'equazione # 2x + 8y = 6 #, che non può avere una soluzione comune con # 2x + 8y = 5 # poiché le parti di sinistra di queste due equazioni sono uguali, ma le parti giuste non lo sono.