Una corda lunga 20 cm viene tagliata in due pezzi. Uno dei pezzi è usato per formare un perimetro di un quadrato?

Risposta:

# "Area totale minima = 10,175 cm²." #

# "Area totale massima = 25 cm²." #

Spiegazione:

# "Nome x la lunghezza del pezzo per formare un quadrato." #

# "Quindi l'area del quadrato è" (x / 4) ^ 2 "." #

# "Il perimetro del triangolo è" 20-x "." #

# "Se y è uno dei lati uguali del triangolo, allora abbiamo" #

# 2 * y + sqrt (y ^ 2 + y ^ 2) = 20-x #

# => y * (2 + sqrt (2)) = 20-x #

# => y = (20-x) / (2 + sqrt (2)) #

# => area = y ^ 2/2 = (20-x) ^ 2 / ((4 + 2 + 4 sqrt (2)) * 2) #

# = (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# "Area totale =" (x / 4) ^ 2 + (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# = x ^ 2/16 + x ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) - 40 x / (12 + 8 sqrt (2)) + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# = x ^ 2 (1/16 + 1 / (12 + 8sqrt (2))) - (40 / (12 + 8sqrt (2))) x + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# "Questa è una parabola e il minimo per una parabola" #

#a x ^ 2 + b x + c = 0 "è" x = -b / (2 * a) ", se a> 0." #

# "Il massimo è" x-> oo ", se a> 0." #

# "Quindi il minimo è" #

#x = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / (1/8 + 1 / (6 + 4sqrt (2))) #

# = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / ((6 + 4sqrt (2) +8) / (8 (6 + 4sqrt (2)))) #

# = 160 / (14 + 4 sqrt (2)) #

# = 160 * (14-4 sqrt (2)) / (196-32) #

# = (160/164) * (14-4 * sqrt (2)) #

# = (80/41) * (7-sqrt (8)) #

# = 8.13965 "cm" #

# => "Area totale =" 10,175 "cm²." #

# "Il massimo è x = 0 o x = 20." #

# "Controlliamo l'area:" #

# "Quando" x = 0 => "area =" 400 / (12 + 8sqrt (2)) = 17,157 "cm²" #

# "Quando" x = 20 => "area =" 5 ^ 2 = 25 "cm²" #

# "Quindi l'area totale massima è 25 cm²." #

Risposta:

L'area minima è #10.1756# e il massimo è #25#

Spiegazione:

Il perimetro di un triangolo isoscele rettangolo di lato destro #un# è # A + A + sqrt2a = a (2 + sqrt2) # e la sua area è # A ^ 2/2 #,

Lascia che sia un pezzo #X# centimetro. da cui formiamo un triangolo isoscele ad angolo retto. È evidente che il lato del triangolo isoscele ad angolo retto sarebbe # X / (2 + sqrt2) # e la sua area sarebbe

# X ^ 2 / (2 (2 + sqrt2) ^ 2) = x ^ 2 / (2 (6 + 4sqrt2)) #

= # (X ^ 2 (6-4sqrt2)) / (2 (36-32)) = (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

Il perimetro dell'altra porzione di corda che forma un quadrato è # (20-x) # e come lato del quadrato è # (20-x) / 4 # la sua area è # (20-x) ^ 2/16 # e area totale # T # dei due è

# T = (20-x) ^ 2/16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # (400-40x + x ^ 2) / 16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # 25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) #

Osservalo # 3-2sqrt2> 0 #, quindi coefficiente di # X ^ 2 # è positivo e quindi avremo un minimo e possiamo scrivere # T # come

# T = 0.1054x ^ 2-2.5x + 25 #

= # 0,1054 (x ^ 2-23.7192x + (11,8596) ^ 2) + 25-0.1054xx (11,8596) ^ 2 #

= # 0,1054 (x-11,8596) ^ 2 + 10,1756 #

Come # 0,1054 (x-11,8596) ^ 2 # è sempre positivo, abbiamo un valore minimo di # T # quando # X = 11,8596 #.

Osservare che teoricamente non ci sono massimi per la funzione, ma come valore di #X# giace tra #0,20#, e quando # X = 0 #, noi abbiamo # T = 0,1054 (0-11.8596) ^ 2 + 10,1756 #

= # 0.1054xx11.8596 ^ 2 + 10,1756 = 25 #

e quando # X = 20 # quando # T = 0,1054 (20-11.8596) ^ 2 + 10,1756 #

= # 0.1054xx8.1404 ^ 2 + 10,1756 = 17.16 #

e quindi il massimo è #25#

grafico {25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) -11.92, 28.08, -0.96, 19.04}