Mostra che, sqrt (-2 + 2sqrt (-2 + 2sqrt (-2 + 2sqrt (-2 + .............)))) = 1 + -i?

Mostra che, sqrt (-2 + 2sqrt (-2 + 2sqrt (-2 + 2sqrt (-2 + .............)))) = 1 + -i?
Anonim

Risposta:

Converge a # 1 + i # (sulla calcolatrice grafica Ti-83)

Spiegazione:

Permettere # S = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}}} #

Primo, supponendo che questa serie infinita converga (cioè supponendo che S esista e prenda il valore di un numero complesso), # S ^ 2 = -2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #

# S ^ 2 + 2 = 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #

# frac {S ^ 2 + 2} {2} = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #

# frac {S ^ 2 + 2} {2} = S #

E se risolvi per S:

# S ^ 2 + 2 = 2S, S ^ 2 - 2S + 2 = 0 #

e applicando la formula quadratica ottieni:

# S = frac {2 pm sqrt {4-8}} {2} = frac {2 pm sqrt {-4}} {2} = frac {2 pm 2i} {2} = 1 pm i #

Di solito la funzione radice quadrata prende così il valore positivo # S = 1 + i #

Quindi, se converge, deve convergere in # 1 + i #

Ora tutto ciò che devi fare è dimostrare che converge o se sei pigro come me, allora puoi collegarlo # sqrt {-2} # in una calcolatrice in grado di gestire numeri immaginari e utilizzare la relazione di ricorrenza:

# f (1) = sqrt {-2} #

# f (n + 1) = sqrt {-2 + 2 sqrt {f (n)} #

L'ho ripetuto molte volte sul mio Ti-83 e ho scoperto che si avvicina ad esempio dopo averlo ripetuto da qualche parte come 20 volte ho ottenuto circa

# 1,000,694478 millions + 1.001394137i #

buona approssimazione