Quali sono il / i asintoto / i e il / i foro / i, se esiste, di f (x) = ((x-3) (x + 2) * x) / ((x ^ 2-x) (x ^ 3- 3x ^ 2)?

Risposta:

# X = 0 # è un asintoto.

# X = 1 # è un asintoto.

#(3, 5/18)# è un buco.

Spiegazione:

Per prima cosa, semplifichiamo la nostra frazione senza cancellare nulla (dato che avremo dei limiti e che la cancellazione di materiale potrebbe farci male).

#f (x) = ((x-3) (x + 2) (x)) / ((x ^ 2-x) (x ^ 3-3x ^ 2)) #

#f (x) = ((x-3) (x + 2) (x)) / ((x) (x-1) (x ^ 2) (x-3)) #

#f (x) = (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3) #

Ora: buchi e asintoti sono valori che rendono indefinita una funzione. Dato che abbiamo una funzione razionale, sarà indefinita se e solo se il denominatore è uguale a 0. Pertanto, dobbiamo solo controllare i valori di #X# che rendono il denominatore #0#, quali sono:

# X = 0 #

# X = 1 #

# X = 3 #

Per scoprire se questi sono asintoti o buchi, prendiamo il limite di #f (x) # come #X# si avvicina a ciascuno di questi numeri.

#lim_ (x-> 0) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = lim_ (x-> 0) ((x-3) (x + 2)) / (x ^ 2 (x-1) (x-3)) #

# = (-3 * 2) / (0 * (- 1) * (- 3)) = + -oo #

Così # X = 0 # è un asintoto.

#lim_ (x-> 1) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = (1 * (- 2) * 3) / (1 * 0 * (- 2)) = + -oo #

Così # X = 1 # è un asintoto.

#lim_ (x-> 3) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = lim_ (x-> 3) ((x + 2)) / (x ^ 2 (x-1)) #

#= 5/(9*2) = 5/18#

Così #(3, 5/18)# è un buco dentro #f (x) #.

Risposta finale