Come si integra int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) usando le frazioni parziali?

Risposta:

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = #

# 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o #

Spiegazione:

Impostare l'equazione da risolvere per le variabili A, B, C

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x 1) ^ 2) dx #

Risolviamo prima A, B, C

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 #

LCD # = (X-1) (x + 1) ^ 2 #

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x + 1) ^ 2 + B (x ^ 2-1) + C (x-1)) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) #

Semplificare

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x ^ 2 + 2x + 1) + B (x ^ 2-1) + C (x -1)) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) #

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (Ax ^ 2 + 2Ax + A + Bx ^ 2-B + Cx-C) / ((x- 1) (x + 1) ^ 2) #

Riorganizzare i termini del lato destro

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (Ax ^ 2 + Bx ^ 2 + 2Ax + Cx + ABC) / ((x-1) (x 1) ^ 2) #

impostiamo le equazioni da risolvere per A, B, C facendo corrispondere i coefficienti numerici dei termini sinistro e destro

# A + B = 4 "" #prima equazione

# 2A + C = 6 "" #seconda equazione

# A-B-C = -2 "" #terza equazione

Soluzione simultanea con risultati di equazioni di seconda e terza a

# 2A + A + C-C-B = 6-2 #

# 3A-B = 4 "" #quarta equazione

Usando ora la prima e la quarta equazione

# 3A-B = 4 "" #quarta equazione

# 3 (4-B) -B = 4 "" #quarta equazione

# 12-3B-B = 4 #

# -4B = 4-12 #

# -4B = -8 #

# B = 2 #

Risolvi per A utilizzando # 3A-B = 4 "" #quarta equazione

# 3A-2 = 4 "" #quarta equazione

# 3A = 4 + 2 #

# 3A = 6 #

# A = 2 #

Risolvi C usando il # 2A + C = 6 "" #seconda equazione e # A = 2 # e # B = 2 #

# 2A + C = 6 "" #seconda equazione

# 2 (2) + C = 6 #

# 4 + C = 6 #

# C = 6-4 #

# C = 2 #

Ora eseguiamo la nostra integrazione

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 / (x 1) ^ 2) dx #

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 * (x 1) ^ (- 2)) dx #

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) + (2 * (x + 1) ^ (- 2 + 1)) / (- 2 + 1) + C_o #

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o #

Dio benedica ….. Spero che la spiegazione sia utile.

Come si integra int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) usando le frazioni parziali?

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C Dobbiamo trovare A, B, C tale che 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) per tutti x. Moltiplicare entrambi i lati di x ^ 2 (2x-1) per ottenere 1 = Ax (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) xB I coefficienti di equazione ci danno {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} E quindi abbiamo A = -2, -1 = B, C = 4. Sostituendo questo nell'equazione iniziale, otteniamo 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 Ora, integralo con il termine int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx per ottenere 2ln | 2x-1 | -2ln | x | +

Come si integra int (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) usando le frazioni parziali?

È necessario decomporre (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) come una frazione parziale. Stai cercando a, b, c in RR tale che (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x -6) + c / (x + 4). Ti mostrerò come trovare un solo, perché b e c si trovano nello stesso identico modo. Si moltiplica entrambi i lati di x + 3, questo lo farà scomparire dal denominatore del lato sinistro e farlo apparire accanto a b e c. (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x-6) + c / (x + 4) iff (x -9) / ((x-6) (x + 4)) = a + (b (x + 3)) / (x-6) + (c (x + 3)) / (x + 4). Si valuta questo a x-3 per far sparire b e

Come si integra int (x + 1) / ((4x-5) (x + 3) (x + 4)) usando le frazioni parziali?

3/119 ln | 4x - 5 | + 2/17 ln | x + 3 | - 1/7 ln | x + 4 | + C Questo è quello che ho trovato! Sentiti libero di correggermi se sbaglio! Il mio lavoro è allegato