Qual è il dominio e l'intervallo di f (x) = {x ^ 2 - 81} / {x ^ 2 - 4x}?

Risposta:

# D_F = RR- {0,4} = (- oo, 0) uu (0,4) uu (4, + oo) #, Intervallo = #f (D_F) = (- oo, (81-9sqrt65) / 8 uu (81 + 9sqrt65) / 8, + oo) #

Spiegazione:

#f (x) = (x ^ 2-81) / (x ^ 2-4x) #

Per poter definire questa funzione, abbiamo bisogno # X ^ 2-4x! = 0 #

abbiamo # X ^ 2-4x = 0 # #<=># #x (x-4) = 0 # #<=># # (X = 0, x = 4) #

Così # D_F = RR- {0,4} = (- oo, 0) uu (0,4) uu (4, + oo) #

Per #X## # InD_f, #f (x) = (x ^ 2-81) / (x ^ 2-4x) # #=# # ((X-9) (x + 9)) / (x ^ 2-4x) #

#f (x) = 0 <=> (x = 9, x = -9) #

• # (X ^ 2-81) / (x ^ 2-4x) = y # #<=># # X ^ 2-81 = y (x ^ 2-4x) #

# X ^ 2-81 = YX ^ 2-4xy #

• Aggiunta #color (verde) (4yx) # in entrambi i lati,

# X ^ 2-81 + 4yx = YX ^ 2 #

• sottraendo #color (rosso) (yx ^ 2) # da entrambi i lati

# X ^ 2-81 + 4yx-YX ^ 2 = 0 # #<=>#

# X ^ 2 (1-y) + 4xy-81 = 0 #

Questa è un'equazione quadratica per #X# così

# A = 1-y #

# B = 4y #

# C = -81 #

Abbiamo bisogno # D = b ^ 2-4 * a * c> = 0 # #<=>#

# 16Y ^ 2-4 (1-y) * (- 81)> = 0 # #<=>#

# 16y ^ 2 + 324 (1-y)> = 0 # #<=>#

# 16Y ^ 2-324y + 324> = 0 # #<=>#

# 4y ^ 2-81y + 81> = 0 #

#y_ (1,2) = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

#=# # (81 + -sqrt (6.561-1.296)) / 8 #

#=# # (81 + -sqrt (5265)) / 8 #

#=# # (81 + -9sqrt65) / 8 #

# 4y ^ 2-81y + 81> = 0 # #<=># # (Y <= (81-9sqrt65) / 8 # o #y> = (81 + 9sqrt65) / 8) #

così, #f (x) <= (81-9sqrt65) / 8 # o #f (x)> = (81 + 9sqrt65) / 8 #

Che significa, #f (D_F) = (- oo, (81-9sqrt65) / 8 uu (81 + 9sqrt65) / 8, + oo) #