Cos'è int (cos (x)) ^ 4 dx?

Risposta:

#int (cos (x)) ^ 4 dx = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #

Spiegazione:

Mentre inizialmente sembra essere un integrale davvero fastidioso, possiamo effettivamente sfruttare le identità trigonometriche per suddividere questo integrale in una serie di semplici integrali con cui siamo più familiari.

L'identità che useremo è:

# cos ^ 2 (x) = (1 + cos (2x)) / 2 #

Questo ci permette di manipolare la nostra equazione in quanto tale:

#int cos ^ 4 (x) dx = int (1 + cos (2x)) / 2 * (1 + cos (2x)) / 2dx #

# = 1/4 int (1 + cos (2x)) (1 + cos (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

Ora possiamo applicare nuovamente la nostra regola per eliminare il cos ^ 2 (2x) all'interno della parentetica:

# 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + (1 + cos (4x)) / 2) dx #

# = 1 / 8int (2+ 4cos (2x) + 1 + cos (4x)) dx #

# = 1 / 8int (3+ 4cos (2x) + cos (4x)) dx #

Ora abbiamo effettivamente un problema di integrazione abbastanza semplice, possiamo distribuire l'integrale nella nostra parentetica in modo che:

# = 1/8 int3dx + 4intcos (2x) dx + intcos (4x) dx #

Ognuno di questi integrali trig è gestito con la semplice regola che #int cos (ax) dx = 1 / a sin (ax) #.

Così, # = 1/8 3x + 2 sin (2x) + 1/4 sin (4x) #

# = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #