Per quali valori di x è f (x) = (- 2x) / (x-1) concavo o convesso?

Risposta:

Studia il segno della seconda derivata.

Per #x <1 # la funzione è concava.

Per #x> 1 # la funzione è convessa.

Spiegazione:

È necessario studiare la curvatura trovando la seconda derivata.

#f (x) = - 2x / (x-1) #

La prima derivata:

#f '(x) = - 2 ((x)' (x-1) -x (x-1) ') / (x-1) ^ 2 #

#f '(x) = - 2 (1 * (x-1) -x * 1) / (x-1) ^ 2 #

#f '(x) = - 2 (x-1-x) / (x-1) ^ 2 #

#f '(x) = 2 * 1 / (x-1) ^ 2 #

La seconda derivata:

#f '' (x) = (2 * (x-1) ^ - 2) '#

#f '' (x) = 2 ((x-1) ^ - 2) '#

#f '' (x) = 2 * (- 2) (x-1) ^ - 3 #

#f '' (x) = - 4 / (x-1) ^ 3 #

Ora il segno di #f '' (x) # deve essere studiato Il denominatore è positivo quando:

# - (x-1) ^ 3> 0 #

# (X-1) ^ 3 <0 #

# (X-1) ^ 3 <0 ^ 3 #

# x-1 <0 #

#x <1 #

Per #x <1 # la funzione è concava.

Per #x> 1 # la funzione è convessa.

Nota: il punto # X = 1 # è stato escluso perché la funzione #f (x) # non può essere definito per # X = 1 #, poiché il denumirator diventerebbe 0.

Ecco un grafico in modo da poter vedere con i tuoi occhi:

graph {(- 2x) / (x-1) -14.08, 17.95, -7.36, 8.66}