Come si dimostra (tanx + sinx) / (2tanx) = cos ^ 2 (x / 2)?

Avremo bisogno di queste due identità per completare la dimostrazione:

# Tanx = sinx / cosx #

#cos (x / 2) = + - sqrt ((1 + cosx) / 2) #

Inizierò con il lato destro, quindi lo manterrò fino a che non assomigli al lato sinistro:

# RHS = cos ^ 2 (x / 2) #

#color (bianco) (RHS) = (cos (x / 2)) ^ 2 #

#color (bianco) (RHS) = (+ - sqrt ((1 + cosx) / 2)) ^ 2 #

#color (bianco) (RHS) = (1 + cosx) / 2 #

#color (bianco) (RHS) = (1 + cosx) / 2color (rosso) (* sinx / sinx) #

#color (bianco) (RHS) = (sinx + sinxcosx) / (2sinx) #

#color (bianco) (RHS) = colore (sinx + sinxcosx) / (2sinx) (rosso) (* (1 / cosx) / (1 / cosx)) #

#color (bianco) (RHS) = (sinx / cosx + (sinxcosx) / cosx) / (2sinx / cosx) #

#color (bianco) (RHS) = (tanx + sinx) / (2tanx) #

#color (bianco) (RHS) = LHS #

Questa è la prova. Spero che questo ha aiutato!

Cerchiamo di dimostrare l'identità:

# (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) #

Considera la LHS dell'espressione e usa la definizione di tangente:

# LHS = (tanx + sinx) / (2tanx) #

# = (sinx / cosx + sinx) / (2 (sinx / cosx)) #

# = (cosx / sinx) ((sinx / cosx + sinx) / 2) #

# = (cosx / sinx * sinx / cosx + cosx / sinx * sinx) / 2 #

# = (1 + cosx) / 2 #

Ora, considera l'RHS e utilizza l'identità:

# cos2A - = 2cos ^ 2A - 1 #

Dandoci:

# cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) - 1 => 1 + cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) #

#:. cos ^ 2 (x / 2) = (1 + cosx) / 2 = RHS #

Così:

# LHS = RHS => (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) # QED

# LHS = (tanx + sinx) / (2tanx) #

# = (Annulla (tanx) (1 + sinx / tanx)) / (2cancel (tanx)) #

# = (1 + cosx) / 2 = (2cos ^ 2 (x / 2)) / 2 = cos ^ 2 (x / 2) = RHS #