Come si dimostra: secx - cosx = sinx tanx?

Utilizzando le definizioni di # # Secx e # # Tanx, insieme all'identità

# sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, noi abbiamo

# secx-cosx = 1 / cosx-cosx #

# = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx #

# = (1-cos ^ 2x) / cosx #

# = Sin ^ 2x / cosx #

# = sinx * sinx / cosx #

# = Sinxtanx #

Risposta:

Prima converti tutti i termini in # # Sinx e # # Cosx.

In secondo luogo applica le regole della somma di frazione al LHS.

Infine applichiamo l'identità pitagorica: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #

Spiegazione:

Per prima cosa nelle domande di queste forme è una buona idea convertire tutti i termini in seno e coseno: quindi, sostituire #tan x # con #sin x / cos x #

e sostituire #sec x # con # 1 / cos x #.

LHS, #sec x- cos x # diventa # 1 / cos x-cos x #.

Il RHS, # sin x tan x # diventa #sin x sin x / cos x # o # sin ^ 2 x / cos x #.

Ora applichiamo le regole della somma delle frazioni al LHS, creando una base comune (proprio come la frazione numerica) #1/3 +1/4 => 4/12 + 3/12 = 7/12)#.

LHS =# 1 / cos x- cos x => 1 / cos x- cos ^ 2 x / cos x => {1 - cos ^ 2 x} / cos x #.

Infine applichiamo l'identità pitagorica: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #! (una delle identità più utili per questi tipi di problemi).

Riorganizzandolo otteniamo # 1- cos ^ 2 x = sin ^ 2 x #.

Sostituiamo il # 1- cos ^ 2 x # nel LHS con # sin ^ 2 x #.

LHS = # {1 - cos ^ 2 x} / cos x => {sin ^ 2 x} / cos x # che è uguale all'RHS modificato.

Quindi LHS = RHS Q.E.D.

Si noti che questo modello generale di ottenere le cose in termini di seno e coseno, usando le regole delle frazioni e l'identità pitagorica, risolve spesso questi tipi di domande.

Se lo desideriamo, possiamo anche modificare il lato destro in modo che corrisponda al lato sinistro.

Dovremmo scrivere # # Sinxtanx in termini di # # Sinx e # # Cosx, usando l'identità #color (rosso) (tanx = sinx / cosx) #:

# Sinxtanx = sinx (sinx / cosx) = sin ^ 2x / cosx #

Ora, usiamo l'identità pitagorica, che è # Sin ^ 2x + cos ^ 2x 1 = #. Possiamo modificare questo per risolvere per # Peccato ^ 2x #, così: #color (rosso) (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) #:

# Sin ^ 2x / cosx = (1-cos ^ 2x) / cosx #

Ora, dividi il numeratore:

# (1-cos ^ 2x) / cosx = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx = 1 / cosx-cosx #

Usa l'identità reciproca #color (rosso) (secx = 1 / cosx #:

# 1 / cosx-cosx = secx-cosx #

Risposta:

È davvero così semplice …

Spiegazione:

Usando l'identità # Tanx = sinx / cosx #, moltiplica il # # Sinx sull'identità per ottenere:

# Secx-cosx = sin ^ 2x / cosx #

Quindi, moltiplica # # Cosx attraverso l'equazione per cedere:

# 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #

Considerando che # # Secx è l'inverso di # # Cosx.

Infine, usando l'identità trigonometrica # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #, la risposta finale sarebbe:

# Sin ^ 2x = sin ^ 2x #