Y = f (x) è dato.Grafico, y = f (3x) -2 ey = -f (x-1)?

Risposta:

Non avere la carta grafica a portata di mano - quindi spero che la descrizione aiuti!

Spiegazione:

Per # Y = f (3x) -2 # primo spremere il dato grafico lungo il #X# asse di un fattore di 3 (in modo che il minimo della mano sinistra, ad esempio, si verifichi in # X = -2/3 #), quindi spingere l'intero grafico giù di 2 unità. Quindi il nuovo grafico avrà un minimo a #x = -2 / 3 # con un valore di # y = -2 #, un massimo a #(0,0)# e un altro minimo a #(4/3, -4)#

Per # Y = f (x-1) # per prima cosa spostare l'unità del grafico 1 su destra, quindi capovolgerlo! Quindi, il nuovo grafico ne avrà due maxima a #(-1,0)# e #(5,2)# e un minimo a #(1,-2) #

Risposta:

Ecco una spiegazione più dettagliata

Spiegazione:

I problemi sono casi speciali di un problema più generale:

Dato il grafico per # Y = f (x) #, qual è il grafico di #y = a f (b x + c) + d # ?

(il primo è per # a = 1, b = 3, c = 0, d = -2 #, mentre il secondo è per # a = -1, b = 1, c = -1, d = 0 #)

Cercherò di spiegare la risposta a passi, affrontando il problema un passo alla volta. Sarà una risposta piuttosto lunga, ma si spera che il principio generale sia chiaro alla fine di esso.

Per illustrazione userò una curva particolare che sto mostrando qui sotto, ma l'idea funzionerà in generale.

(Se qualcuno è interessato, la funzione che viene tracciata qui è #f (x) = exp (- {(x-1) ^ 2} / 2) #

1) Dato il grafico per # Y = f (x) #, qual è il grafico di #y = f (x) + d # ?

Questo è facile - tutto ciò che devi fare è notare che se # (X, y) # è un punto sul primo grafico, quindi # (X, y + d) # è un punto sul secondo. Ciò significa che il secondo grafico è più alto del primo di una distanza # D # (certamente se # D # è negativo, è inferiore al primo grafico di # | D | #).

Quindi, il grafico di # Y = f (x) + 1 # sarà

Come puoi vedere, il grafico per #y = f (x) + 1 # (la linea viola continua) si ottiene semplicemente spingendo il grafico per # Y = f (x) # (la linea tratteggiata grigia) su di una unità.

Il grafico per # Y = f (x) -1 # può essere trovato premendo il grafico originale giù di una unità:

2) Dato il grafico per # Y = f (x) #, qual è il grafico di #y = f (x + c) # ?

È facile vedere che se # (X, y) # è un punto sul # Y = f (x) # grafico, quindi # (X-c, y) # sarà un punto sul #y = f (x + c) # grafico. Ciò significa che puoi ottenere il grafico di #y = f (x + c) # dal grafico di #y = f (x) # semplicemente spostandolo al sinistra di # C # (certamente se # C # è negativo, devi spostare il grafico originale di # | C | # a destra.

Ad esempio, il grafico per # Y = f (x + 1) # può essere trovato spingendo il grafico originale al sinistra di una unità:

mentre quello per # Y = f (x-1) # coinvolge spingendo il grafico originale al destra di una unità:

3) Dato il grafico per # Y = f (x) #, qual è il grafico di #y = f (bx) # ?

Da #f (x) = f (b volte x / b) # ne consegue che se # (X, y) # è un punto sul #y = f (x) # grafico, quindi # (x / b, y) # è un punto sul # Y = f (bx) # grafico.

Ciò significa che il grafico originale deve essere spremuto di un fattore di # B # lungo il #X# asse. Naturalmente, la spremitura da parte # B # è davvero un allungamento di # 1 / b # per il caso in cui # 0 <b <1 #

Il grafico per # Y = f (2x) # è

Si noti che mentre l'altezza rimane uguale a 1, la larghezza si riduce di un fattore 2. In particolare, il picco della curva originale si è spostato da # X = 1 # a # X = 1/2 #.

D'altra parte, il grafico per # Y = f (x / 2) # è

Si noti che questo grafico è due volte più ampio (spremere per #1/2# essere lo stesso di allungare di un fattore 2) e anche il picco è stato spostato da # X = 1 # a # X = 2 #.

Una menzione speciale deve essere fatta del caso in cui # B # è negativo Forse è meglio pensarlo come un processo in due fasi

• Prima trova il grafico di # Y = f (-x) #, e poi
• spremere il grafico risultante per # | B | #

Si noti che per ogni punto # (X, y) # del grafico originale, il punto # (- x, y) # è un punto sul grafico di # Y = f (-x) # - così il nuovo grafico può essere trovato riflettendo quello vecchio su # Y # asse.

A titolo illustrativo del processo in due fasi, prendere in considerazione il grafico di # Y = f (-2x) # mostrato di seguito:

Ecco la curva originale, quella per # Y = f (x) # è dapprima capovolto su # Y # asse per ottenere la curva per # Y = f (-x) # (la sottile linea ciano). Questo è poi schiacciato da un fattore di #2# per ottenere la curva per # Y = f (-2x) # - la spessa curva viola.

4) Dato il grafico per # Y = f (x) #, qual è il grafico di #y = af (x) # ?

Il modello è lo stesso qui - se # (X, y) # è un punto sulla curva originale quindi # (X, ay) # è un punto sul grafico di # Y = af (x) #

Questo significa che per un positivo #un#, il grafico viene allungato di un fattore di #un# lungo il # Y # asse. Di nuovo, un valore di #un# tra 0 e 1 significa che invece di essere allungato, la curva sarà effettivamente schiacciata di un fattore di # 1 / a # lungo il # Y # asse.

La curva sotto è per # y = 2f (x) #

Si noti che mentre il picco ha lo stesso valore di #X# - La sua altezza è raddoppiata a 2 da 1. Ovviamente non è il solo picco che è stato allungato - il # Y # la coordinata di ogni punto della curva originale è stata raddoppiata per ottenere la nuova curva.

La figura seguente illustra la spremitura che si verifica quando #0<>

Ancora una volta, il caso per #a <0 # fa particolare attenzione - ed è meglio se lo fai in due passaggi

1. Innanzitutto capovolgere la curva verso il basso #X# asse per ottenere la curva per # Y = f (x) #
2. Allunga la curva di # | Un | # lungo il # Y # asse.

La curva per # Y = f (x) # è

mentre l'immagine sotto illustra i due passaggi coinvolti nel disegno della curva #y = -2f (x) #

Mettere tutto insieme

Ora che abbiamo seguito i singoli passi, mettiamoli tutti insieme! La procedura per disegnare la curva per

# y = a f (bx + c) + d #

a partire da quello di # Y = f (x) # è essenzialmente composto dai seguenti passaggi

1. Traccia la curva di # Y = f (x + c) #: sposta il grafico di una distanza # C # a sinistra
2. Quindi traccia quello di #y = f (bx + c) #: spremi la curva ottenuta dal passaggio 1 in #X# direzione dal fattore # | B | #, (dapprima girando intorno al # Y # asse se #b <0 #)
3. Quindi traccia il grafico di # Y = af (bx + c) #: ridimensiona la curva ottenuta dal passaggio 2 con un fattore di #un# nella direzione verticale.
4. Infine, spingere la curva che si ottiene al punto 3 su per una distanza # D # per ottenere il risultato finale.

Ovviamente è necessario eseguire tutti e quattro i passaggi solo in casi estremi, spesso con un numero inferiore di passaggi! Inoltre, la sequenza di passaggi è importante.

Nel caso ve lo stiate chiedendo, questi passaggi derivano dal fatto che se # (X, y) # è un punto sul # Y = f (x) # grafico, quindi il punto

# ({x-c} / b, ay + d) # è sul # Y = af (bx + c) + d # grafico.

Lasciatemi illustrare il processo con un esempio con la nostra funzione #f (x) #. Cerchiamo di costruire il grafico per #y = -2f (2x + 3) + 1 #

Primo: lo spostamento a sinistra di 3 unità

Quindi: spremere di un fattore 2 lungo il #X# asse

Quindi, sfogliando il grafico su circa il #X# asse e quindi ridimensionamento di un fattore 2 lungo # Y #

Infine, spostando la curva di 1 unità - e abbiamo finito!