Come trovi il limite di sqrt (x ^ 2-9) / (2x-6) mentre x si avvicina -oo?

Risposta:

Fai un po 'di factoring per ottenere #lim_ (x -> - oo) = - 1/2 #.

Spiegazione:

Quando trattiamo i limiti all'infinito, è sempre utile calcolare un punto #X#o un # X ^ 2 #o qualunque sia il potere di #X# semplifica il problema. Per questo, prendiamo in considerazione un # X ^ 2 # dal numeratore e da #X# dal denominatore:

#lim_ (x -> - oo) (sqrt (x ^ 2-9)) / (2x-6) = (sqrt ((x ^ 2) (1-9 / (x ^ 2)))) / (x (2-6 / x)) #

# = (Sqrt (x ^ 2) sqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (x (2-6 / x)) #

Ecco da dove inizia a diventare interessante. Per #x> 0 #, #sqrt (x ^ 2) # è positivo; tuttavia, per #x <0 #, #sqrt (x ^ 2) # è negativo In termini matematici:

#sqrt (x ^ 2) = abs (x) # per #x> 0 #

#sqrt (x ^ 2) = - x # per #x <0 #

Dato che abbiamo a che fare con un limite all'infinito negativo, #sqrt (x ^ 2) # diventa #-X#:

# = (- xsqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (x (2-6 / x)) #

# = (- sqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (2-6 / x) #

Ora possiamo vedere la bellezza di questo metodo: abbiamo a # 9 / x ^ 2 # e # 6 / x #, entrambi i quali andranno a #0# come #X# passa all'infinito negativo:

#lim_ (x -> - oo) = (- sqrt (1-0)) / (2-0) #

#lim_ (x -> - oo) = - 1/2 #