Quali sono gli estremi locali di f (x) = sinx su [0,2pi]?

Risposta:

A # X = pi / 2 # #f '' (x) = - 1 # abbiamo un massimo locale e a # X = 3pi / 2 #, #f '' (x) = 1 # abbiamo un minimo locale.

Spiegazione:

Un massimo è un punto alto a cui una funzione sale e poi cade di nuovo. Come tale, la pendenza della tangente o il valore della derivata in quel punto sarà zero.

Inoltre, poiché le tangenti alla sinistra di maxima saranno inclinate verso l'alto, quindi appiattendo e quindi inclinandosi verso il basso, la pendenza della tangente diminuirà continuamente, cioè il valore della derivata seconda sarebbe negativo.

Un valore minimo invece è un punto basso a cui una funzione cade e quindi sale di nuovo. Come tale anche la tangente o il valore della derivata ai minimi sarà zero.

Ma, poiché le tangenti a sinistra dei minimi saranno inclinate verso il basso, quindi appiattendo e quindi inclinate verso l'alto, la pendenza della tangente aumenterà continuamente o il valore della derivata seconda sarebbe positivo.

Tuttavia, questi massimi e minimi possono essere universali cioè massimi o minimi per l'intero intervallo o possono essere localizzati, cioè massimi o minimi in un intervallo limitato.

Vediamolo con riferimento alla funzione descritta nella domanda e per questo dobbiamo prima distinguerci #f (x) = sinx #.

#f '(x) = cosx # e via # 0,2pi # è #0# a # X = pi / 2 # e # X = (3pi) / 2 #.

#f '' (x) = - sinx # e mentre a # X = pi / 2 # #f '' (x) = - 1 # nel senso che abbiamo un massimo locale, a # X = 3pi / 2 #, #f '' (x) = 1 # nel senso che abbiamo un minimo locale.

graph {sinx -1, 7, -1.5, 1.5}