Un triangolo ha lati A, B e C. I lati A e B hanno lunghezze di 10 e 8, rispettivamente. L'angolo tra A e C è (13pi) / 24 e l'angolo tra B e C è (pi) 24. Qual è l'area del triangolo?

Risposta:

Dato che gli angoli dei triangoli si sommano #pi# possiamo capire l'angolo tra i lati indicati e la formula dell'area dà

#A = frac 1 2 a b sin C = 10 (sqrt {2} + sqrt {6}) #.

Spiegazione:

Aiuta se ci atteniamo tutti alla convenzione dei lati minuscoli # A, b, c # e la lettera maiuscola che si contrappone ai vertici # A, B, C #. Facciamolo qui.

L'area di un triangolo è # A = 1/2 a b sin C # dove # C # è l'angolo tra #un# e # B #.

abbiamo # B = frac {13 pi} {24} # e (supponendo che sia un errore di battitura nella domanda) # A = pi / 24 #.

Dato che gli angoli dei triangoli si sommano a # 180 ^ circ # aka #pi# noi abbiamo

#C = pi - pi / 24 - frac {13 pi} {24} = frac {10 pi} {24} = frac {5pi} {12} #

# Frac {5pi} {12} # è # 75 ^ circ. # Otteniamo il seno con la formula dell'angolo di somma:

# sin 75 ^ circ = sin (30 + 45) = sin 30 cos 45 + cos 30 sin 45 #

# = (frac 1 2 + frac sqrt {3} 2) sqrt {2} / 2 #

# = frac 1 4 (sqrt (2) + sqrt (6)) #

Quindi la nostra area è

#A = frac 1 2 a b sin C = frac 1 2 (10) (8) frac 1 4 (sqrt (2) + sqrt (6)) #

#A = 10 (sqrt {2} + sqrt {6}) #

Prendi la risposta esatta con un granello di sale perché non è chiaro abbiamo indovinato correttamente cosa intendesse il richiedente dall'angolo tra # B # e # C #.