Integrazione di 1 / (1 + x ^ 3) dx?

Risposta:

# 1 / 3LN | x + 1 | -1 / 6LN | x ^ 2x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

Spiegazione:

Iniziare fattorizzando il denominatore:

# 1 + x ^ 3 = (x + 1) (x ^ 2-x + 1) #

Ora possiamo fare frazioni parziali:

# 1 / (1 + x ^ 3) = 1 / ((x + 1) (x ^ 2-x + 1)) = A / (x + 1) + (Bx + C) / (x ^ 2-x 1) #

Possiamo trovare #UN# utilizzando il metodo di copertura:

# A = 1 / ((di testo (////)) ((- 1) ^ 2 + 1 + 1)) = 1/3 #

Successivamente possiamo moltiplicare entrambi i lati con il denominatore LHS:

# 1 = 1/3 (x ^ 2-x + 1) + (Bx + C) (x + 1) #

# 1 = 1 / 3x ^ 2-1 / 3x + 1/3 + Bx ^ 2 + Bx + Cx + C #

# 1 = (1/3 + B) x ^ 2 + (B + C-1/3) x + (C + 1/3) #

Questo dà le seguenti equazioni:

# 1/3 + B = 0 -> B = -1 / 3 #

# C + 1/3 = 1-> C = 2/3 #

Ciò significa che possiamo riscrivere il nostro integrale originale:

#int 1 / (1 + x ^ 3) dx = 1 / 3int 1 / (x + 1) - (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx #

Il primo integrale può essere fatto usando una esplicita sostituzione di u, ma è piuttosto chiaro che la risposta è #ln | x + 1 | #:

# 1/3 (ln | x + 1 | -int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx) #

Possiamo dividere l'integrale rimanente in due:

#int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx = 1 / 2int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) dx = #

# = 1/2 (int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx-int 3 / (x ^ 2-x + 1) dx) #

La ragione per l'inganno con il moltiplicarsi e dividersi per #2# è quello di rendere il denominatore della mano sinistra più facile da usare su sostituzione U.

Chiamerò l'integrale integrale di sinistra 1 e l'integrale integrale di destra 2

Integrale 1

#int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx #

Poiché abbiamo già preparato questo integrale per la sostituzione, tutto ciò che dobbiamo fare è sostituire # U = x ^ 2-x + 1 #e la derivata è # 2x-1 #, quindi ci dividiamo per integrarci rispetto a # U #:

#int cancel (2x-1) / (cancel (2x-1) * u) du = int 1 / u du = ln | u | + C = ln | x ^ 2-x + 1 | + C #

Integrale 2

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx #

Vogliamo ottenere questo integrale nella forma:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Per fare questo, dobbiamo completare il quadrato per il denominatore:

# X ^ 2-x + 1 = (x-1/2) ^ 2 + k #

# X ^ 2-x + 1 = x ^ 2-x + 1/4 + k #

# K = 3/4 #

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx = 3int 1 / ((x-1/2) ^ 2 + 3/4) dx #

Vogliamo introdurre una sostituzione u in modo tale che:

# (X-1/2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #

# x-1/2 = sqrt3 / 2U #

# X = sqrt3 / 2U + 1/2 #

Moltiplichiamo per la derivata rispetto a # U # integrare rispetto a # U #:

# Dx / (du) = sqrt (3) / 2 #

# 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = 3sqrt3 / 2 * 1 / (3/4) int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 2sqrt3tan ^ -1 (u) + C = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

Completando l'integrale originale

Ora che conosciamo la risposta a Integral 1 e Integral 2, possiamo ricollegarli all'espressione originale per ottenere la nostra risposta finale:

# 1/3 (ln | x + 1 | -1 / 2ln | x ^ 2x + 1 | + sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3)) + C = #

# = 1 / 3LN | x + 1 | -1 / 6LN | x ^ 2x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

Risposta:

# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2x-1) / sqrt3) + C #

Spiegazione:

#int dx / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 2-x + 1) * (x + 1) #

=# 1 / 3int (x ^ 2-x + 1) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #-# 1 / 3int (x ^ 2-x-2) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3int dx / (x + 1) #-# 1 / 3int ((x + 1) (x-2)) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/3 int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) * dx #+# 1/6 int 3 / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2-x + 1) + C #+# 1/2 int dx / (x ^ 2-x + 1) #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2-x + 1) + C #+#int (2dx) / (4x ^ 2-4x + 4) #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2-x + 1) + C #+#int (2dx) / ((2x-1) ^ 2 + 3) #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2x-1) / sqrt3) + C #