Come si integra int sec ^ -1x mediante l'integrazione per metodo delle parti?

Risposta:

La risposta è # = X "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Spiegazione:

Abbiamo bisogno

# (Sec ^ -1x) '= ("arco" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

# Intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) #

L'integrazione per parti è

# Intu'v = uv-intuv '#

Qui, abbiamo

# U '= 1 #, #=>#, # U = x #

# V = "arco" secx #, #=>#, # V '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

Perciò, #int "arco" secxdx = x "arc" secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) #

Eseguire il secondo integrale per sostituzione

Permettere # X = secu #, #=>#, # Dx = secutanudu #

#sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu #

# Intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu) / (tanu) = intsecudu #

# = Int (secu (secu + tanu) du) / (+ secu tanu) #

# = int ((sec ^ 2u + secutanu) du) / (secu + tanu) #

Permettere # V = secu + tanu #, #=>#, # Dv = (sec ^ 2U + secutanu) du #

Così, # Intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (dv) / (v) = LNV #

# = Ln (secu + tanu) #

# = Ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) #

Finalmente, #int "arco" secxdx = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Risposta:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Spiegazione:

In alternativa, possiamo usare una formula poco conosciuta per elaborare gli integrali delle funzioni inverse. La formula afferma:

#int f ^ -1 (x) dx = xf ^ -1 (x) -F (f ^ -1 (x)) + C #

dove # F ^ -1 (x) # è l'inverso di #f (x) # e #F (x) # è l'anti-derivato di #f (x) #.

Nel nostro caso, otteniamo:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -F (sec ^ -1 (x)) + C #

Ora tutto ciò che dobbiamo risolvere è l'anti-derivato # F #, che è l'integrale familiare secante:

#int sec (x) dx = ln | sec (x) + tan (x) | + C #

Ricollegarlo alla formula dà la nostra risposta finale:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln | sec (sec ^ -1 (x)) + tan (sec ^ -1 (x)) | + C #

Dobbiamo stare attenti a semplificare #tan (sec ^ -1 (x)) # a #sqrt (x ^ 2-1) # perché l'identità è valida solo se #X# è positivo Siamo fortunati, tuttavia, perché possiamo risolvere questo problema inserendo un valore assoluto nell'altro termine all'interno del logaritmo. Ciò elimina anche la necessità del primo valore assoluto, poiché tutto ciò che si trova all'interno del logaritmo sarà sempre positivo:

# Xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #