Come si scrive la decomposizione a frazione parziale dell'espressione razionale (3x) / (x ^ 3 - 2x ^ 2 - x + 2)?

Risposta:

# (3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) = 2 / (x-2) -3 / (2 (x-1)) - 1 / (2 (x + 1)) #

Spiegazione:

Per scrivere l'espressione data in frazioni parziali, pensiamo di fattorizzare il denominatore.

Facciamo una fattorizzazione del denominatore

#color (blu) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) #

# = Colore (blu) (x ^ 2 (x-2) - (x-2)) #

# = Colore (blu) ((x-2) (x ^ 2-1)) #

Applicando l'identità dei polinomi:

#color (arancione) (a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b)) #

noi abbiamo:

#color (blu) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) #

# = Colore (blu) ((x-2) (x ^ 2-1 ^ 2)) #

# = Colore (blu) ((x-2) (x-1) (x + 1)) #

Scomponiamo l'espressione razionale trovando # A, B e C #

#color (marrone) (A / (x-2) + B / (x-1) + C / (x + 1)) = colore (verde) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x 2)) #

#color (marrone) (A / (x-2) + B / (x-1) + C / (x + 1)) #

# = Colore (marrone) ((A (x-1) (x + 1)) / (x-2) + (B (x-2) (x + 1)) / (x-1) + (C (x-2) (x-1)) / (x + 1)) #

# = (A (x ^ 2-1)) / (x-2) + (B (x ^ 2 + x-2x-2)) / (x-1) + (C (x ^ 2x-2x 2)) / (x + 1) #

# = (A (x ^ 2-1)) / (x-2) + (B (x ^ 2-x-2)) / (x-1) + (C (x ^ 2-3x + 2)) / (x + 1) #

# = (Ax ^ 2-A + Bx ^ 2-Bx-2B + Cx ^ 2-3Cx + 2C) / ((x-2) (x-1) (x + 1) #

# = Colore (marrone) (((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) / ((x-2) (x-1) (x + 1)) #

# = Colore (marrone) (((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) / ((x-2) (x-1) (x + 1)) = colore (verde) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2)) #

Poi, #rArrcolor (marrone) ((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) = colore (verde) (3x) #

Abbiamo un sistema di tre equazioni con tre incognite # A, B e C #

# A + B + C = 0 # EQ1

# -B-3C = 3 # EQ2

# -A-2B 2C + = 0 # eq3

Iniziare a risolvere il sistema

EQ2:# -B-3C = 3rArr-B = 3 + 3CrArrcolor (rosso) (B = -3-3C) #

sostituendo # B # in eq1 abbiamo:

# A + B + C = 0 #

# A-3-3C + C = 0rArrA-3-2C = 0rArrcolor (rosso) (A = 3 + 2C) #

sostituendo #B e C #in eq3 abbiamo:

# -A-2B 2C + = 0 # eq3

# RArr- (colore (rosso) (3 + 2C)) - 2 (colore (rosso) (- 3-3C)) + 2C = 0 #

# RARR-3-2C + 6 + 6C + 2C = 0 #

# RARR + 3 + 6C = 0 #

# RArr6C = -3 #

#rArrcolor (rosso) (C = -1 / 2) #

#color (rosso) (B = -3-3C) = - 3-3color (red) (- 1/2) = - 3 + 3/2 #

#color (rosso) (B = -3/2 #

#color (rosso) (A = 3 + 2C) = 3 + 2 (-1/2) = 3-1 #

#color (rosso) (A = 2) #

Sostituiamo i valori:

#color (verde) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2)) = colore (marrone) (colore (rosso) 2 / (x-2) + (colore (rosso) (- 3 / 2)) / (x-1) + colore (rosso) ((- 1/2)) / (x + 1)) #

Perciò, # (3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) = 2 / (x-2) -3 / (2 (x-1)) - 1 / (2 (x + 1)) #