Quali sono le identità a metà angolo?

Le identità del semitono sono definite come segue:

# mathbf (sin (x / 2) = pmsqrt ((1-cosx) / 2)) #

#(+)# per quadranti io e II

#(-)# per quadranti III e IV

# mathbf (cos (x / 2) = pmsqrt ((1 + cosx) / 2)) #

#(+)# per quadranti io e IV

#(-)# per quadranti II e III

# mathbf (tan (x / 2) = pmsqrt ((1-cosx) / (1 + cosx))) #

#(+)# per quadranti io e III

#(-)# per quadranti II e IV

Possiamo ricavarle dalle seguenti identità:

# sin ^ 2x = (1-cos (2x)) / 2 #

# sin ^ 2 (x / 2) = (1-cos (x)) / 2 #

#color (blue) (sin (x / 2) = pmsqrt ((1-cos (x)) / 2)) #

Sapendo come # # Sinx è positivo per #0-180^@# e negativo per #180-360^@#, sappiamo che è positivo per i quadranti io e II e negativo per III e IV.

# cos ^ 2x = (1 + cos (2x)) / 2 #

# cos ^ 2 (x / 2) = (1 + cos (x)) / 2 #

#color (blu) (cos (x / 2) = pmsqrt ((1 + cos (x)) / 2)) #

Sapendo come # # Cosx è positivo per #0-90^@# e #270-360^@#e negativo per #90-270^@#, sappiamo che è positivo per i quadranti io e IV e negativo per II e III.

#tan (x / 2) = sin (x / 2) / (cos (x / 2)) = (pmsqrt ((1-cos (x)) / 2)) / (pmsqrt ((1 + cos (x)) / 2)) #

#color (blu) (tan (x / 2) = pmsqrt ((1-cos (x)) / (1 + cos (x)))) #

Possiamo vedere che se prendiamo le condizioni per i valori positivi e negativi da # # Sinx e # # Cosx e dividili, otteniamo che questo è positivo per i quadranti io e III e negativo per II e IV.