Un supereroe si lancia dalla cima di un edificio con una velocità di 7,3 m / s con un angolo di 25 sopra l'orizzontale. Se l'edificio è alto 17 metri, in quale distanza viaggerà orizzontalmente prima di raggiungere il suolo? Qual è la sua velocità finale?

Un diagramma di questo sarebbe simile a questo:

Quello che vorrei fare è elencare ciò che so. Prenderemo negativo come verso il basso e lasciato come positivo.

#h = "17 m" #

#vecv_i = "7,3 m / s" #

#veca_x = 0 #

#vecg = - "9,8 m / s" ^ 2 #

#Deltavecy =? #

#Deltavecx =? #

#vecv_f =? #

PARTE PRIMA: L'ASCENSIONE

Quello che vorrei fare è trovare dove apice è da determinare # # Deltavecye quindi lavorare in uno scenario di caduta libera. Si noti che all'apice, #vecv_f = 0 # perché la persona cambia direzione in virtù della predominanza della gravità nel diminuire la componente verticale della velocità attraverso lo zero e nei negativi.

Un'equazione che coinvolge # # Vecv_i, # # Vecv_f, e # # Vecg è:

# mathbf (vecv_ (fy) ^ 2 = vecv_ (iy) ^ 2 + 2vecgDeltavecy) #

dove diciamo #vecv_ (fy) = 0 # all'apice.

Da #vecv_ (fy) ^ 2 <vecv_ (iy) ^ 2 # e #Deltavecy> 0 #, # Deltavecv_y ^ 2 <0 # e questa equazione ci sta davvero chiedendo di usarla #g <0 #.

Per parte 1:

#color (blue) (Deltavecy) = (vecv_ (fy) ^ 2 - v_ (iy) ^ 2) / (2g) = colore (blu) ((- v_ (iy) ^ 2) / (2g))> 0 #

dove #vecv_ (fy) = 0 # è la velocità finale per parte 1.

Ricorda che una velocità verticale ha a # # Sintheta componente (disegnare un triangolo rettangolo e ottenere il #sintheta = (vecv_ (y)) / (vecv) # relazione).

#color (verde) (Deltavecy = (-v_ (i) ^ 2 sin ^ 2theta) / (2g))> 0 #

Ora che abbiamo # # Deltavecy e lo sappiamo # # Vecv_y ha cambiato direzione, possiamo supporre caduta libera sta succedendo.

Il altezza totale della caduta è #color (verde) (h + Deltavecy) #. Questo è qualcosa che possiamo usare per parte 2.

ottengo # # Deltavecy stare per # "0,485 m" # e #h + Deltavecy # stare per #colore (blu) ("17.485 m") #.

SECONDA PARTE: LA CADUTA LIBERA

Possiamo ancora trattare il # Y # direzione indipendentemente dal #X# direzione, da #veca_x = 0 #.

All'apice, ricordalo #color (verde) (vecv_ (iy) = 0) #, che è la velocità iniziale per parte 2e fu la velocità finale in parte 1. Ora possiamo usare un'altra equazione cinematica 2D. Ricorda che l'altezza totale non lo è # # Deltavecy Qui!

# mathbf (h + Deltavecy = 1 / 2g t_ "freefall" ^ 2) + cancella (v_ (iy) t_ "freefall") ^ (0) #

Ora possiamo solo risolvere il tempo necessario per colpire il terreno dall'apice.

#color (verde) (t_ "freefall") = sqrt ((2 (h + Deltavecy)) / g) #

# = colore (verde) (sqrt ((2 (h - (v_ (i) ^ 2 sin ^ 2theta) / (2g))) / g)) #

e, naturalmente, il tempo ovviamente non è mai negativo, quindi possiamo ignorare la risposta negativa.

… E ci stiamo arrivando.

PARTE TERZA: SOLVING PER LA DISTANZA ORIZZONTALE

Possiamo riutilizzare la stessa equazione cinematica di quella precedentemente esaminata. Una delle cose che stiamo andando è # # DeltaX, che è:

#color (blue) (Deltax) = cancel (1 / 2a_xt ^ 2) ^ (0) + v_ (ix) t #

E come prima, usa una relazione trigonometrica per ottenere il #X# componente (# # Costheta).

# = color (blue) (vecv_icostheta * t_ "overall")> 0 #

dove #t_ # "globale" NON è quello che abbiamo ottenuto in parte 2, ma includerà il tempo #t_ "salto" # passando dall'edificio all'apice del volo e #t_ "caduta libera" # che abbiamo acquisito in precedenza.

#Deltay = 1 / 2vecg t_ "leap" ^ 2 + vecv_ (iy) t_ "leap" #

Con #Deltay ~~ "0,485 m" #. Quando risolviamo questo usando l'equazione quadratica, darebbe:

#t_ "leap" = (- (vecv_ (iy)) + sqrt ((vecv_ (iy)) ^ 2 - 4 (1 / 2vecg) (- | Deltay |))) / (2 * 1 / 2vecg) #

# ~~ "0,3145 s" #

Includere il tempo acquisito per l'apice a terra e si dovrebbe ottenere circa #color (blu) ("2.20 s") # per l'intero volo. Chiamiamo questo #t_ # "globale".

#t_ "overall" = t_ "leap" + t_ "freefall" #

utilizzando #t_ # "globale", Ottengo #colore (blu) (Deltavecx ~~ "14,58 m") #.

PARTE QUARTA: SOLVING PER LA VELOCITÀ FINALE

Ora questo richiederà un po 'più di riflessione. Lo sappiamo #h = "17 m" # e noi abbiamo # # DeltaX. Pertanto, possiamo determinare l'angolo rispetto al terreno orizzontale.

#tantheta '= (h + Deltavecy) / (Deltavecx) #

#color (blu) (theta '= arctan ((h + Deltavecy) / (Deltavecx)))) #

Nota come abbiamo usato #h + Deltavecy # poiché in effetti abbiamo fatto un salto verso l'alto prima di cadere, e non abbiamo fatto un salto in avanti. Quindi, l'angolo # # Theta coinvolge # # DeltaX e il altezza totalee prenderemo il grandezza dell'altezza totale per questo.

E infine, da allora # # Vecv_x non è cambiato tutto questo tempo (ignoriamo qui la resistenza aerea):

#color (verde) (vecv_ (fx)) = vecv_ (ix) = vecv_fcostheta '= colore (verde) (vecv_icostheta')> 0 #

dove # # Vecv_i è la velocità iniziale dalla parte 1. Ora abbiamo solo bisogno di sapere cosa #vecv_ (fy) # è in parte 2. Torna all'inizio per vedere:

#vecv_ (fy) ^ 2 = cancel (vecv_ (iy) ^ 2) ^ (0) + 2vecg * (h + Deltavecy) #

Quindi, questo diventa:

#color (verde) (vecv_ (fy) = -sqrt (2vecg * (h + Deltavecy))) <0 #

Ricorda che abbiamo definito giù come negativo, così # h + Deltay <0 #.

Ok, siamo QUASI là. Ci viene richiesto # # Vecv_f. Pertanto, finiamo usando il Teorema di Pitagora.

# vecv_f ^ 2 = vecv_ (fx) ^ 2 + vecv_ (fy) ^ 2 #

#color (blu) (vecv_f = -sqrt (vecv_ (fx) ^ 2 + vecv_ (fy) ^ 2)) <0 #

Complessivamente, #color (blu) (| vecv_f | ~~ "19,66 m / s") #.

E questo sarebbe tutto! Controlla la tua risposta e dimmi se ha funzionato.

Qui il vel. di proiezione, # V = 7.3ms ^ -1 #

l'angolo. di proiezione,# Alpha = 25 ^ 0 # sopra orizzontale

La componente verticale verso l'alto di vel di proiezione,# vsinalpha = 7.3 * sin25 ^ 0 = 7.3 * 0.42ms ^ -1 ~~ 3.07ms ^ -1 #

L'edificio è alto 17 metri, lo spostamento verticale netto che raggiunge il suolo sarà # H = -17m # come il supereroe si proiettò verso l'alto (preso positivo qui)

Se il tempo di volo è il tempo necessario per raggiungere il suolo, si considera T

quindi usando la formula #h = vsinalpha * t-1/2 * g * t ^ 2 # possiamo avere

# => - 17 = 3.07 * T-0.5 * 9.8 * T ^ 2 #

# => 4.9T ^ 2-3.07T-17 = 0 #

dividendo entrambi i lati per 4.9 otteniamo

# => T ^ 2-0.63T-3.47 = 0 #

# => T = (0.63 + sqrt ((- 0,63) ^ 2-4 * 1 * (- 3,47))) / 2 ~~ 2.20s #

(tempo negativo scartato)

Lo spostamento orizzontale di So Hero prima di raggiungere il suolo lo sarà

# = T * vcosalpha = 2.20 ** 7.3cos (25 ^ 0) ~~ 14.56m #

Calcolo della velocità al momento del raggiungimento del suolo

Velocità componente verticale al momento del raggiungimento del suolo

# v_y ^ 2 = u ^ 2sin ^ 2alpha + 2xx (-9,8) xx (-17) #

Di nuovo componente orizzontale della velocità al momento di raggiungere il suolo

# => = V_x ucosalpha #

Quindi velocità risultante al momento di raggiungere il suolo

# V_R = sqrt (v_x ^ 2 + v_y ^ 2) = sqrt (u ^ ^ 2sin 2alpha + u ^ ^ 2cos 2alpha-2xx9.8xx17) #

# => V_R = sqrt (u ^ 2 + 2xx9.8xx17) #

# => V_R = sqrt (7,3 ^ 2 + 2xx9.8xx17) = 19.66 "m / s" #

Direzione di # # V_R con l'orizzontale# = Tan ^ -1 (v_y / v_x) #

# = Tan ^ -1 (sqrt (u ^ ^ 2sin 2alpha + 2xx (-9,8) xx (-17)) / (ucosalpha)) #

# = tan ^ -1 (sqrt (7.3 ^ 2sin ^ 2 25 + 2xx (-9.8) xx (-17)) / (7.3cos25)) #

# = 70.3 ^ @ -> "verso il basso con l'orizzontale" #

È utile?