Quali sono gli estremi locali, se esistono, di f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

Risposta:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x # ha un minimo locale per # X = 1 # e un massimo locale per # X = 3 #

Spiegazione:

Abbiamo:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x #

la funzione è definita in tutti # RR # come # x ^ 2 + 3> 0 AA x #

Possiamo identificare i punti critici individuando dove la prima derivata è uguale a zero:

#f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) -1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) #

# - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 #

# x ^ 2-4x + 3 = 0 #

# x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 #

quindi i punti critici sono:

# x_1 = 1 # e # x_2 = 3 #

Dal momento che il denominatore è sempre positivo, il segno di #f '(x) # è l'opposto del segno del numeratore # (X ^ 2-4x + 3) #

Ora sappiamo che un polinomio di secondo ordine con coefficiente di guida positivo è positivo al di fuori dell'intervallo compreso tra le radici e negativo nell'intervallo tra le radici, in modo che:

#f '(x) <0 # per #x in (-oo, 1) # e #x in (3, + oo) #

#f '(x)> 0 # per #x in (1,3) #

Abbiamo quindi quello #f (x) # sta diminuendo # (- oo, 1) #, aumentando #(1,3)#e di nuovo diminuendo in # (3, + oo) #, così che # x_1 = 1 # deve essere un minimo locale e # X_2 = 3 # deve essere un massimo locale.

graph {2ln (x ^ 2 + 3) -x -1.42, 8.58, -0.08, 4.92}