Come provate sec (x) + 1 + ((1-tan ^ 2 (x)) / (sec (x) -1)) = cos (x) / (1-cos (x))?

Risposta:

Fai qualche moltiplicazione coniugata, usa le identità trigonometriche e semplifica. Vedi sotto.

Spiegazione:

Ricorda l'identità pitagorica # Sin ^ 2x + cos ^ 2x 1 = #. Dividi entrambi i lati # cos ^ 2x #:

# (Sin ^ 2x + cos ^ 2x) / cos ^ 2x = 1 / cos ^ 2x #

# -> tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #

Faremo uso di questa importante identità.

Concentriamoci su questa espressione:

# Secx + 1 #

Si noti che questo è equivalente a # (Secx + 1) / 1 #. Moltiplica la parte superiore e inferiore di # Secx-1 # (questa tecnica è nota come moltiplicazione del coniugato):

# (Secx + 1) / 1 * (secx-1) / (secx-1) #

# -> ((secx + 1) (secx-1)) / (secx-1) #

# -> (sec ^ 2x-1) / (secx-1) #

A partire dal # Tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #, Lo vediamo # Tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #. Pertanto, possiamo sostituire il numeratore con # Tan ^ 2x #:

# (Tan ^ 2x) / (secx-1) #

Il nostro problema ora si legge:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Abbiamo un denominatore comune, quindi possiamo aggiungere le frazioni sul lato sinistro:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> (tan ^ 2x + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Le tangenti annullano:

# (Annullare (tan ^ 2x) + 1-cancel (tan ^ 2x)) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Lasciandoci con:

# 1 / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Da # Secx = 1 / cosx #, possiamo riscrivere questo come:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

Aggiungendo le frazioni al denominatore, vediamo:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / (1 / cosx- (cosx) / (cosx)) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / ((1-cosx) / cosx) = cosx / (1-cosx) #

Utilizzando la proprietà # 1 / (a / b) = b / a #, noi abbiamo:

# Cosx / (1-cosx) = cosx / (1-cosx) #

E questo completa la prova.

# LHS = (secx + 1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = ((Secx + 1) (secx-1) + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = (Sec ^ 2x-1 + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = Cosx / cosx * ((sec ^ 2x-tan ^ 2x)) / ((secx-1)) #

#color (rosso) ("mettere", sec ^ 2x-tan ^ 2x = 1) #

# = Cosx / (cosxsecx-cosx) #

#color (rosso) ("mettere", cosxsecx = 1) #

# = Cosx / (1-cosx) = RHS #