Qual è l'equazione della parabola con un focus a (-15, -19) e una direttrice di y = -8?

Risposta:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

Spiegazione:

Poiché la direttrice è una linea orizzontale, sappiamo che la parabola è orientata verticalmente (si apre verso l'alto o verso il basso). Poiché la coordinata y della messa a fuoco (-19) sotto la direttrice (-8), sappiamo che la parabola si apre. La forma del vertice dell'equazione per questo tipo di parabola è:

#y = 1 / (4f) (x - h) ^ 2 + k "1" #

Dove h è la coordinata x del vertice, k è la y coordinata del vertice, e la distanza focale, f, è la metà della distanza segnata dalla direttrice al fuoco:

#f = (y _ ("focus") - y _ ("directrix")) / 2 #

#f = (-19 - -8) / 2 #

#f = -11 / 2 #

La coordinata y del vertice, k, è f più la coordinata y della direttrice:

# k = f + y _ ("directrix") #

#k = -11 / 2 + -8 #

#k = (-27) / 2 #

La coordinata x del vertice, h, è la stessa della coordinata x del focus:

#h = -15 #

Sostituendo questi valori in equazione 1:

#y = 1 / (4 (-11/2)) (x - -15) ^ 2 + (-27) / 2 #

Semplificando un po ':

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

Risposta:

# X ^ 2 + 30x + 22Y + 522 = 0 #

Spiegazione:

La parabola è il luogo di un punto, che si muove in modo tale che la sua distanza da una linea, chiamata directix, e un punto, chiamato fuoco, siano uguali.

Sappiamo che la distanza tra due punti # (X_1, y_1) # e # X_2, y_2) # è dato da #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # e

la distanza tra il punto # (X_1, y_1) # e linea # Ax + by + c = 0 # è # | Ax_1 + by_1 + c | / (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Ora la distanza di un punto # (X, y) # su parabola da fuoco a #(-15,-19)# è #sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) #

e la sua distanza da directrix # Y = -8 # o # Y + 8 = 0 # è # | Y + 8 | / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) = | y + 8 | #

Quindi, equazione di parabola sarebbe

#sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) = | y + 8 | # o

# (X + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2 = (y + 8) ^ 2 # o

# X ^ 2 + 30x + 225 + y ^ 2 + 38y + 361 = y ^ 2 + 16y + 64 # o

# X ^ 2 + 30x + 22Y + 522 = 0 #

grafico {x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 -56,5, 23,5, -35,28, 4,72}