Quali sono le derivate prima e seconda di f (x) = ln ((x-1) ^ 2 / (x + 3)) ^ (1/3)?

Risposta:

# 1/3 ln (x-1) ^ 2 -ln (x + 3) = 1/3 2ln (x-1) -ln (x + 3) = 2/3 ln (x-1) -1 / 3LN (x + 3) #

# f '(x) = 2 / (3 (x-1)) -1 / (3 (x + 3)) -> f' '= - 2 / (3 (x-1) ^ 2) + 1 / (3 (x + 3) ^ 2) #

Spiegazione:

Per prima cosa usa le proprietà dei logaritmi per semplificare. Portare l'esponente in primo piano e ricordare che il log di un quoziente è la differenza dei log, quindi una volta che lo dissolvo in una semplice forma logaritmica, trovo le derivate. Una volta ottenuto il primo derivativo, visualizzo il # (X-1) # e# (x + 3) # verso l'alto e applica la regola di potere per trovare la derivata seconda. Nota che puoi usare anche la chain rule, ma la semplificazione potrebbe essere un po 'più difficile e lunga.

Una linea passa attraverso (8, 1) e (6, 4). Una seconda linea passa attraverso (3, 5). Qual è un altro punto che può passare la seconda linea se è parallela alla prima linea?

(1,7) Quindi dobbiamo prima trovare il vettore di direzione tra (8,1) e (6,4) (6,4) - (8,1) = (- 2,3) Sappiamo che un'equazione vettoriale è costituito da un vettore di posizione e un vettore di direzione. Sappiamo che (3,5) è una posizione sull'equazione del vettore, quindi possiamo usarlo come nostro vettore posizione e sappiamo che è parallelo l'altra linea in modo che possiamo usare quel vettore di direzione (x, y) = (3, 4) + s (-2,3) Per trovare un altro punto sulla linea basta sostituire qualsiasi numero in s tranne 0 (x, y) = (3,4) +1 (-2,3) = (1,7 ) Quindi (1,7) è un altro punto.

Quali sono le derivate prima e seconda di f (x) = ln (x-2) / (x-2)?

F '(x) = -ln (x-2) / (x-2) ^ 2 e f' '(x) = (1-2ln (x-2)) / (x-2) ^ 3 Questo è un quotien, quindi applichiamo la regola del quoziente qui per avere la prima derivata di questa funzione. f '(x) = (1 / (x-2) * (x-2) - ln (x-2)) * 1 / (x-2) ^ 2 = -ln (x-2) / (x- 2) ^ 2. Lo facciamo di nuovo per avere la seconda derivata della funzione. f '' (x) = (1 / (x-2) * (x-2) ^ 2 - ln (x-2) (2 (x-2))) * 1 / (x-2) ^ 4 = ((x-2) - 2ln (x-2) (x-2)) / (x-2) ^ 4 = (1-2ln (x-2)) / (x-2) ^ 3

Quali sono le derivate prima e seconda di g (x) = cosx ^ 2 + e ^ (lnx ^ 2) ln (x)?

G '(x) = -2xsin (x ^ 2) + 2xln (x) + x Questo è un problema di regole di catena e prodotto piuttosto standard. La regola della catena afferma che: d / dx f (g (x)) = f '(g (x)) * g' (x) La regola del prodotto afferma che: d / dx f (x) * g (x) = f '(x) * g (x) + f (g) * g' (x) Combinando questi due, possiamo facilmente capire g '(x). Ma prima osserviamo che: g (x) = cosx ^ 2 + e ^ (lnx ^ 2) ln (x) = cosx ^ 2 + x ^ 2ln (x) (Perché e ^ ln (x) = x). Passiamo ora alla determinazione della derivata: g '(x) = -2xsin (x ^ 2) + 2xln (x) + (x ^ 2) / x = -2xsin (x ^ 2) + 2xln (x) + x