L'emivita del cobalto 60 è di 5 anni. Come si ottiene un modello di decadimento esponenziale per cobalto 60 nella forma Q (t) = Q0e ^ -kt?

Risposta:

#Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #

Spiegazione:

Impostiamo un'equazione differenziale. Sappiamo che il tasso di cambiamento del cobalto è proporzionale alla quantità di cobalto presente. Sappiamo anche che è un modello di decadimento, quindi ci sarà un segno negativo:

# (dQ) / (dt) = - kQ #

Questo è un diff, simpatico, facile e separabile:

#int (dQ) / (Q) = -k int dt #

#ln (Q) = - kt + C #

#Q (0) = Q_0 #

#ln (Q_0) = C #

# implica ln (Q) = ln (Q_0) - kt #

#ln (Q / Q_0) = -kt #

Alza ogni lato agli esponenziali:

# (Q) / (Q_0) = e ^ (- kt) #

#Q (t) = Q_0e ^ (- kt) #

Ora che conosciamo la forma generale, dobbiamo capire cosa #K# è.

Lasciate dimezzare la vita # Tau #.

#Q (tau) = Q_0 / 2 = Q_0e ^ (- ktau) #

#therefore 1/2 = e ^ (- ktau) #

Prendi i registri naturali di entrambi i lati:

#ln (1/2) = -ktau #

#k = - (ln (1/2)) / tau #

Per ordine, riscrivi #ln (1/2) = -ln (2) #

#quindi k = ln (2) / tau #

#k = ln (2) / (5) anni ^ (- 1) #

#quindi Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #