Come valuto cos (pi / 5) senza usare una calcolatrice?

Risposta:

Cos (#pi# / 5) = cos 36 ° = ((# # Sqrt5 + 1)/4.

Spiegazione:

Se # # Theta = #pi#/ 10, quindi 5# # Theta = #pi#/2 #=># cos3# # Theta = sin2# # Theta. cos (#pi# /2 - #alfa#) = sin#alfa#}.

#=># 4# cos ^ 3 # # # Theta - 3cos# # Theta = 2 secondi# # Thetacos# # Theta#=># 4 # cos ^ 2 ## # Theta - 3 = 2 sin # # Theta.

#=># 4 (1 - # Sin ^ 2 # # # Theta) - 3 = 2 sin# # Theta. #=># 4# Sin ^ 2 # # # Theta+ 2sin# # Theta - 1 = 0#=>#

peccato# # Theta =(# # Sqrt 5 - 1) /4.

Ora cos 2# # Theta = cos #pi#/5 = 1 - 2# Sin ^ 2 # # # Theta, dà il risultato.

Risposta:

#Cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

Spiegazione:

Permettere #a = cos (pi / 5) #, #b = cos (2 * pi / 5) #. così #cos (4 * pi / 5) = -a #. Dalle formule a doppio angolo:

#b = 2a ^ 2-1 #

# -a = 2b ^ 2-1 #

sottraendo, # a + b = 2 (a ^ 2-b ^ 2) = 2 (a + b) (a-b) #

# A + b # non è zero, in quanto entrambi i termini sono positivi, quindi # A-b # deve essere #1/2#. Poi

# a-1/2 = 2a ^ 2-1 #

# 4a ^ 2-2a-1 = 0 #

e l'unica radice positiva è

#a = cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

E #b = cos (2 * pi / 5) = a-1/2 = (sqrt (5) -1) / 4 #.