Un numero intero positivo è 3 meno di due volte l'altro. La somma dei loro quadrati è 117. Quali sono gli interi?

Risposta:

#9# e #6#

Spiegazione:

I quadrati dei primi numeri interi positivi sono:

#1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100#

Gli unici due di cui è la somma #117# siamo #36# e #81#.

Si adattano alle condizioni poiché:

#color (blu) (6) * 2-3 = colore (blu) (9) #

e:

#color (blu) (6) ^ 2 + colore (blu) (9) ^ 2 = 36 + 81 = 117 #

Quindi i due numeri interi sono #9# e #6#

Come potremmo averli trovati più formalmente?

Supponiamo che gli interi siano # M # e # N #, con:

#m = 2n-3 #

Poi:

# 117 = m ^ 2 + n ^ 2 = (2n-3) ^ 2 + n ^ 2 = 4n ^ 2-12n + 9 + n ^ 2 = 5n ^ 2-12n + 9 #

Così:

# 0 = 5 (5n ^ 2-12n-108) #

#color (bianco) (0) = 25n ^ 2-60n-540 #

#color (bianco) (0) = (5n) ^ 2-2 (5n) (6) + 6 ^ 2-576 #

#color (bianco) (0) = (5n-6) ^ 2-24 ^ 2 #

#color (bianco) (0) = ((5n-6) -24) ((5n-6) +24) #

#color (bianco) (0) = (5n-30) (5n + 18) #

#color (bianco) (0) = 5 (n-6) (5n + 18) #

Quindi:

#n = 6 "" # o # "" n = -18 / 5 #

Siamo interessati solo a soluzioni intere positive, quindi:

#n = 6 #

Poi:

#m = 2n-3 = 2 (colore (blu) (6)) - 3 = 9 #